Решётка Лича — решётка определённого типа в 24-мерном пространстве.

Построения

Конструкция через код Голея Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея типа как образ при сжатии в раз множества векторов таких, что

и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовое слово v, заданное как

принадлежит .

Конструкция через псевдоевклидово пространство сигнатуры (25,1) Решётка Лича может быть построена с помощью псевдоевклидова пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка , состоящая из векторов , у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом , иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.

Такой решётке принадлежит изотропный вектор . Отметим, что в силу изотропности , поэтому можно рассмотреть факторпространство . Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности ) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве.

Свойства

Решётка Лича является чётной самодвойственной (в частности, унимодулярной) решёткой с длиной кратчайшего вектора равной 2.

Решётка Лича реализует максимально возможное«Контактное число шаров и сферические коды» — фильм из серии «Математические этюды» контактное число в размерности 24. Её контактное число равно 196560

Решётка Лича реализует плотнейшуюАннотация курса В. В. Успенского Решетка Лича, или По направлению к Монстру упаковку шаров в размерности 24. Плотность упаковки решётки Лича составляет .

Группа автоморфизмов решётки Лича — группа Конвея Co0. Она включает в себя некоторые спорадические группы, в том числе Co1 как факторгруппу Co0 по инверсии пространства, и как подгруппы. Группа Конвея имеет порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хотя вращательная симметрия решётки Лича очень высока, её группа автоморфизмов не включает никаких отражений; иными словами, решётка Лича хиральна.

См. также Решётка E8

Литература Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.

Примечания

Категория:Решётки (геометрия)