Противоположное число к числу — число, для которого . Данное явление называется взаимным уничтожением слагаемых.
Для любого действительного (или комплексного) числа существует число, противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе.
Противоположное к действительному Из определения противоположного числа следует
Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки. В соответствии с этим, противоположное числу обозначают .
Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот. Существует лишь одно число, противоположное к которому совпадает с ним самим. Это число 0.
Не стоит путать термины «противоположное число» и «обратное число». Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равняется единице. Например, число, обратное к 7, это 1/7, а противоположное −7.
Противоположное к комплексному Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.
Формы комплексного числа Число Противоположное Противоположное к комплексному числу записывается в такой же форме, как и это число . Алгебраическая Тригонометрическая Показательная
(комплексное число), (действительная часть комплексного числа), (мнимая часть комплексного числа), — мнимая единица, (модуль комплексного числа), (аргумент комплексного числа), — основание натурального логарифма.
Противоположное к мнимой единице Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), противоположное и обратное числа к которым равны. Это .
Число Равенство противоположного и обратного Запись обратного через дробь Запись обратного через степень
Покажем доказательство для (для аналогично). Используем основное свойство дроби:
Таким образом, получаем __или__ Аналогично для : __ __ или __
Примечания
См. также Обратное число
Категория:Арифметика