Га́уссов интегра́л (также интегра́л Э́йлера — Пуассо́на или интегра́л Пуассо́на) — интеграл от гауссовой функции:
Доказательства ДоказательствоРассмотрим функцию . Она ограничена сверху единицей на интервале , а снизу нулем на интервале . В частности, полагая , получим при :
Ограничим в первом неравенстве изменение промежутком , а во втором — промежутком , возведём оба неравенства в степень , так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим: и
Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим
При замене получим
Полагая получим, соответственно,
Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной от 0 до величина меняется в пределах от 0 до 1.
И заменяя , получим
Здесь с пределами интегрирования аналогично: изменяется от бесконечности до нуля при изменении переменной от 0 до .
Два последних интеграла могут быть найдены следующим образом: дважды интегрируя их по частям, мы получим рекуррентные соотношения, разрешая которые придем к результатам в правой части.
Таким образом искомое К может быть заключено в интервале
Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до
Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к при
Следовательно,
В силу чётности функции , получаем, что
Доказательство 2Гауссов интеграл может быть представлен как . Рассмотрим квадрат этого интеграла . Вводя двумерные декартовы координаты, переходя от них к полярным координатам , , и интегрируя по (от 0 до ), получаем:
Следовательно, . Доказательство 3Гауссов интеграл может быть представлен как . Рассмотрим куб этого интеграла . Вводя трёхмерные декартовы координаты, переходя от них к сферическим координатам:
, якобиан преобразования равен ,
и интегрируя по (от до ), по (от до ), по (от до ), получаем:
Следовательно, .
Вариации
Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции
и многомерные гауссовы интегралы
элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).
То же относится к многомерным интегралам вида
где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.
Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразования от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение
В физике Вычисление этого интеграла и его различных вариаций служит основным содержанием многих тем современной теоретической физики.
История Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.
См. также Функция ошибок
Примечания
Ссылки
Категория:Интегралы Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера