Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с положительно определённым эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.
Определение Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма удовлетворяющая дополнительному условиюШафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.: где — квантор всеобщности.
Другими словами, это означает, что функция удовлетворяющая следующим условиям:
1) линейность скалярного произведения по первому аргументу: и справедливы равенства:
(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально, потому что за счёт условия они равносильны)
2) эрмитовость скалярного произведения: справедливо равенство
3) положительная определённость скалярного произведения: и причём только при
Свойства Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией . Полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда, когда для всех векторов функция принимает только вещественные значения.
Отличия от евклидова пространства Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 51-52
неравенство Коши — Буняковского: понятие угла не имеет содержательного смысла; Матрица Грама системы векторов является эрмитовой
Литература Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Примечания
Категория:Линейная алгебра Категория:Функциональный анализ