Теорема Алекса́ндера о предбазеЧасто также называемая леммой Александера (о предбазе). — критерий компактности топологического пространства. Доказана Джеймсом Александером.Alexander J. W. Ordered Sets, complexes and the problem of compactifications. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA 25 (1939), pp. 296—298. (оригинальная статья). Из неё легко следует теорема Тихонова о компактности произведения компактных пространств.

Как известно, компактным называется пространство, допускающая выделение из каждого своего покрытия открытыми множествами конечное подпокрытие. Теорема Александера значительно сужает класс покрытий, которые достаточно рассматривать для установления компактности. Формулировка теоремы использует понятие предбазы топологии — семейства открытых подмножеств, конечные пересечения которых образуют базу топологии.

Теорема. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда выделение конечного подпокрытия допускает каждое покрытие, составленное из элементов некоторой предбазы его топологии.

Несложное доказательство теоремы Александера можно получить, используя следующий критерий компактности: топологическое пространство компактно в том и только том случае, если каждый ультрафильтр на множестве имеет хотя бы один пределСхема такого доказательства. Пусть — предбаза пространства , такая, что любое покрытие пространства её элементами содержит конечное подпокрытие. Пусть — ультрафильтр на , не имеющий ни одного предела. Тогда каждая точка обладает окрестностью, принадлежащей семейству и не принадлежащей . Следовательно, существует покрытие пространства элементами семейства , ни один из которых не принадлежит ультрафильтру . Из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие . Тогда , но ни один элемент конечного семейства не принадлежит фильтру , что противоречит его максимальности..

Теорема Александера носит теоретико-решёточный характер (поскольку формулируется в терминах свойств семейства открытых подмножеств топологического пространства, являющегося полной дистрибутивной решёткой) и допускает различные обобщения на специальные классы частично упорядоченных множествAbian A. A partial order generalization of Alexander's subbase theorem . — Rend. Circ. Mat. Palermo 38 (1989), pp. 271—276.Erné M. Semidistributivity, prime ideals and the subbase lemma . — Rend. Circ. Mat. Palermo 41 (1991) No. 2, pp. 241—250.Рой и Мукхержи ввели специальный тип компактности, определённый в терминах решёток Шоке (grills) и доказали для него аналоги теорем Александера о предбазе и Тихонова о компактности: см. B. Roy, M. N. Mukherjee. On a type of compactness via grills . — Matem. Vesn. 59 (2007), No. 3, pp. 113—120..

Примечания

Литература

— Задача 3.12.2 (С. 331).

Категория:Общая топология Александера