Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит, что порядок конечной группы равен порядку любой подгруппы , умноженному на её индекс, то есть что верно равенство .

Доказательство Далее будем считать классы смежности левыми.

Разбиение на смежные классы есть отношение эквивалентности. Действительно, если для , то существуют , что . Так как мы в группе, то можем домножить на обратный к , получив , откуда . Повторив процедуру в другую сторону, получим, что . То есть .

При этом , то есть в каждом классе смежности равное количество элементов, а группа распадается на таких.

Следствия

Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы в одинаково и называется индексом подгруппы в (обозначается ). Порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок . Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы делит порядок . Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел. Группа порядка , где — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок , и значит, каждый из них порождает группу.)

Обобщения

Теорема Лагранжа допускает обобщение на другие алгебраические структуры. В частности:

порядок любого подкольца конечного кольца делит порядок кольца. Это следует из рассмотрения аддитивной группы кольца , которая является абелевой группой, и её подгруппы . порядок любого подмодуля конечного модуля над кольцом делит порядок модуля. Доказательство аналогично: аддитивная группа модуля — абелева группа, а подмодуль — её подгруппа. для подполей конечного поля порядок поля является степенью порядка подполя. Если — подполе, то является векторным пространством над некоторой размерности , откуда .

История

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.

См. также

Теоремы Силова

Литература

Лагранжа (теория групп) Категория:Конечные группы