Доказательство «от противного» (), или апагогическое косвенное доказательствоКосвенное доказательство//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина. 2004., — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезисаДоказательство от противного//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина. 2004.. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.
Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому.
Схема доказательства Доказательство утверждения проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение , которое заведомо неверно.
Из определения импликации следует, что, если ложно, то формула истинна тогда и только тогда, когда ложно, следовательно утверждение истинно.
Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению .
В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего.
Примеры В математике Доказательство иррациональности числа .
Допустим противное: число рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби , где — целое число, а — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат: , откуда . Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и ; следовательно, делится на 4, а значит, и тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.
В повседневной жизни Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа».
См. также Приведение к абсурду (апагогия) Метод бесконечного спуска
Примечания
Категория:Математическая логика Категория:Стандартные приёмы доказательства Категория:Практики, основанные на доказательствах