Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп.

Простая группа — это группа G, не содержащая каких-либо нормальных подгрупп, отличных от самой группы G и тривиальной (единичной) подгруппы. Теорема классификации утверждает, что состоит из 18 счётных бесконечных семейств, плюс 26 исключений, которые не попадают в эту классификацию. Эти исключения называются спорадическими группами. Они также известны под названиями «спорадические простые группы» или «спорадические конечные группы». Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, иногда она также считается спорадическойНапример, согласно Конвею. и в этом случае является 27-й спорадической группой.

Группа Монстр является наибольшей среди спорадических групп и содержит в качестве подгрупп или все, за исключением шести, другие спорадические группы.

Имена спорадических групп Пять спорадических групп обнаружил Матьё в 1860-х годах, остальные 21 найдены между 1965 и 1975 годами. Существование нескольких из этих групп было предсказано до их построения. Позднее было доказано, что этим окончательно завершён полный поиск. Большинство групп носят имена математиков, первыми предсказавшими их существование.

Полный список групп:

группы Матьё , , , , группы Янко , J2 или HJ, , Группы Конвея Co1, , Группы Фишера , , HS McL He или F7+, или F7 Группа Рудвалиса Ru Suz или F3− O’N HN или F5+, или F5 Ly Th или F3|3, или F3 B или F2+, или F2 Группа «Монстр» Фишера-Грейса M или F1

Группа Титса T иногда также считается спорадической группой (она почти лиева типа) и по этой причине по некоторым источникам число спорадических групп даётся как 27, а не 26. По другим источникам группа Титса не считается ни спорадической, ни группой лиева типа.

Для всех спорадических групп были построены матричные представления над конечными полями.

Наиболее раннее употребление термина «спорадическая группа» найдено у Бёрнсайда, где он говорит о группах Матьё: «Эти, по всей видимости, спорадические простые группы требуют более тщательного исследования, чем до сих пор получали».

Диаграмма справа основывается на диаграмме Ронана. Спорадические группы также имеют большое число подгрупп, не являющихся спорадическими, но на диаграмме они не представлены ввиду их огромного числа.

Система Из 26 спорадических групп 20 находятся внутри группы «Монстр» в качестве подгрупп или .

I. Парии

Шесть исключений J1, J3, J4, O’N, Ru и Ly иногда называют .

II. Счастливое Семейство Остальные двадцать групп называют Счастливым семейством (название дал ) и их можно разбить на три поколения.

Первое поколение (5 групп) — группы Матьё

Группы Mn для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно-транзитивными группами перестановок n точек. Все они являются подгруппами группы M24, которая является группой перестановок 24 точек.

Второе поколение (7 групп) — решётка Лича

Все группы автоморфизмов решётки в 24-мерном пространстве, называемой решёткой Лича: Co1 — факторгруппа группы автоморфизмов по центру {±1} Co2 — стабилизатор вектора типа 2 (то есть длины 2) Co3 — стабилизатор вектора типа 3 (то есть длины √6) Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих структуру (модуль центра) McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3 HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3 J2 — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (модуль по центру).

Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра Состоит из подгрупп, которые тесно связаны с Монстром M: B или F2 имеет двойное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M Fi24′ имеет тройное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3A») Fi23 является подгруппой Fi24′ Fi22 имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi23 Произведение Th = F3 и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3C») Произведение HN = F5 и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M Произведение He = F7 и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M. Наконец, Монстр сам по себе считается принадлежащим этому поколению.

(Эта серия продолжается и дальше — произведение M12 и группы порядка 11 является централизатором элемента порядка 11 в M.)

Группа Титса также принадлежит этому поколению — существует подгруппа , нормализующая 2C2 подгруппу B, порождающая подгруппу , нормализующую некоторую подгруппу Q8 Монстра. является также подгруппой групп Фишера Fi22, Fi23 и Fi24′ и «малого Монстра» B. является подгруппой группы-парии Рудвалиса Ru и не имеет других зависимостей со спорадическими простыми группами кроме перечисленных выше.

Таблица порядков спорадических групп ГруппаПоколениеПорядок ()ЗначащихцифрРазложениеТройкаСтандартных генераторов (a, b, ab)Другие условия F1 или M третье 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 ≈ 8 246 • 320 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 712A, 3B, 29 третье 4154781481226426191177580544000000 ≈ 4 2C, 3A, 55 третье 1255205709190661721292800 ≈ 1 221 • 316 • 52 • 73 • 11 • 13 • 17 • 23 • 292A, 3E, 29 третье 4089470473293004800 ≈ 4 218 • 313 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 232B, 3D, 28 третье 64561751654400 ≈ 6 217 • 39 • 52 • 7 • 11 • 132A, 13, 11 третье 90745943887872000 ≈ 9215 • 310 • 53 • 72 • 13 • 19 • 312, 3A, 19 пария 51765179004000000 ≈ 5 28 • 37 • 56 • 7 • 11 • 31 • 37 • 672, 5A, 14 третье 273030912000000 ≈ 3 214 • 36 • 56 • 7 • 11 • 192A, 3B, 22 Co1 второе 4157776806543360000 ≈ 4 221 • 39 • 54 • 72 • 11 • 13 • 232B, 3C, 40 второе 42305421312000 ≈ 4 218 • 36 • 53 • 7 • 11 • 232A, 5A, 28 второе 495766656000 ≈ 5 210 • 37 • 53 • 7 • 11 • 232A, 7C, 17 пария 460815505920 ≈ 5 29 • 34 • 5 • 73 • 11 • 19 • 312A, 4A, 11 второе 448345497600 ≈ 4 213 • 37 • 52 • 7 • 11 • 132B, 3B, 13 Ru пария 145926144000 ≈ 1 214 • 33 • 53 • 7 • 13 • 292B, 4A, 13 третье 4030387200 ≈ 4 210 • 33 • 52 • 73 • 172A, 7C, 17 второе 898128000 ≈ 9 27 • 36 • 53 • 7 • 112A, 5A, 11 второе 44352000 ≈ 4 29 • 32 • 53 • 7 • 112A, 5A, 11 пария 86775571046077562880 ≈ 9 221 • 33 • 5 • 7 • 113 • 23 • 29 • 31 • 37 • 432A, 4A, 37 пария 50232960 ≈ 5 27 • 35 • 5 • 17 • 192A, 3A, 19 J2 или HJ второе 604800 ≈ 6 27 • 33 • 52 • 72B, 3B, 7 пария 175560 ≈ 2 23 • 3 • 5 • 7 • 11 • 192, 3, 7 первое 244823040 ≈ 2 210 • 33 • 5 • 7 • 11 • 232B, 3A, 23 первое 10200960 ≈ 127 • 32 • 5 • 7 • 11 • 232, 4, 23 первое 443520 ≈ 4 27 • 32 • 5 • 7 • 112A, 4A, 11 первое 95040 ≈ 126 • 33 • 5 • 112B, 3B, 11 первое 7920 ≈ 824 • 32 • 5 • 112, 4, 11

Примечания

Литература

Выпуски 1, 2, …

Ссылки

Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups

Категория:Спорадические группы