В математике и теоретической физике тензор называется симметричным по двум индексам i и j, если он не меняется при перестановке этих индексов:
Если тензор не меняется при перестановке любой пары своих индексов, то такой тензор называется абсолютно симметричным.
Симметризация и антисимметризация Для любого тензора U, с компонентами , можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:
(симметричная часть),
(антисимметричная часть).
Термин «часть» означает, что
Для большего числа индексов тоже можно определить симметризацию: , обозначаемую также (для случая её проведения по всем индексам) символом : . Однако, для разложения тензора ранга, большего двух, оказывается недостаточно лишь абсолютно симметричного и абсолютно антисимметричного слагаемых.
Свойства
Примеры абсолютно симметричных тензоров Ранга 0 — скаляр (любой), Ранга 1 — вектор/ковектор (любой), Ранга 2: симметричная матрица, (ковариантный) — квадратичная форма. Произвольного ранга n — тензорная степень n любого вектора/ковектора (лишь одна из возможностей).
Последний пример показывает, что, в отличие от антисимметричного случая, пространство симметричных тензоров будет иметь положительную размерность при сколь угодно большом числе симметризуемых индексов.
Применение Симметричные ковариантные тензоры возникают при разложении в ряд Тейлора функции, заданной на линейном пространстве — член степени n является симметричным n-линейным функционалом, то есть его «коэффициентом» является абсолютно симметричный тензор ранга n.
В квантовой механике симметричный по n индексам тензор описывает n-частичное состояние бозона. Когда состояние описывается волновой функцией, волновые функции от многих переменных математически могут рассматриваться как бесконечномерные тензоры (каждый аргумент соответствует индексу). Симметричная функция удовлетворяет уравнению и аналогично для большего числа переменных.
Категория:Тензорное исчисление