Уравнение Рикка́ти — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида
Уравнением Риккати называют также многомерный аналог , то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными правые части которых являются многочленами второй степени от переменных с зависящими от коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрииWilczinski E. J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. Teubner, Leipzig, 1906., теории вполне интегрируемых гамильтоновых системЗахаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система., вариационном исчисленииЗеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998., теории конформных отображений, квантовой теории поляWinternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear partial differential equations. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, pp. 263—331..
История Частный случай такого уравнения:
где — не равные нулю постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай-старший и Николай-младший)Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901.Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.. Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: или Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях решение уравнения нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.
Уравнение вида часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида — специальным уравнением Риккати.
Свойства Уравнение Риккати в случае является линейным и интегрируется в квадратурах. Уравнение Риккати в случае является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены Общее решение уравнения Риккати является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением Риккати. Если — частные решения уравнения Риккати, соответствующие значениям постоянной интегрирования, то имеет место тождество
Левая часть тождества — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати. Таким образом, общее решение уравнения восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле .
Применения В римановой геометрии уравнению Риккати
удовлетворяют операторы формы для эквидистанционных поверхностей вдоль перпендикулярной к ним геодезической с касательным полем . Как и уравнение Якоби, это уравнение применяется при исследовании геодезических.
Вариации и обобщения Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение
относительно неизвестной квадратной матрицы порядка , в котором — заданные квадратные матрицы порядка с зависящими от переменной коэффициентами.
В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида
относительно неизвестной квадратной матрицы порядка , в котором — заданные квадратные матрицы порядка с зависящими от переменной коэффициентами, причем звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала
в стационарной точке При этом матрицы
Литература Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998. Егоров А. И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001. Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.
Ссылки Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation Eq. World: General Riccati equation
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Вариационное исчисление Риккати Риккати