Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.
Описание представления Гейзенберга Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор , а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства . В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:
где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.
Связь между операторами в представлении Шрёдингера и Гейзенберга Пусть - оператор в представлении Шрёдингера, а - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:
где - оператор эволюции:
где - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то
и унитарное преобразование принимает вид:
Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:
где - оператор Гамильтона.
Введем оператор эволюции , который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:
Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:
где - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:
Теперь рассмотрим среднее значение оператора некоторой наблюдаемой величины:
Таким образом, оператор в представлении Гейзенберга определяется формулой:
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то
Продифференцируем формулу по времени и используем уравнение , тогда получим уравнение движения операторa в Гейзенберговском представлении:
где частная производная обозначает явную зависимость оператора от времени.
Пример. Квантовый гармонический осциллятор. Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:
Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение перепишется в виде
где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения
Применение Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.
См. также Квантовая механика Представление Шрёдингера Представление взаимодействия Уравнение Шрёдингера Волновая функция Оператор (физика)
Литература Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга // Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — С. 55-56. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов. Параграф 10. Представление Гейзенберга. Глава VIII // Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — С. 306-307. Параграф 3.4. Гейзенберговская картина // Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1989. — С. 154-155. Сербо В. Г., Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2008. — 274 c. — ISBN 978-5-94356-642-4
Ссылки
Heisenberg picture (англ.)
Категория:Квантовая механика Гейзенберга