Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.
Формулировка Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если существует непрерывная биекция между их поверхностями, переводящая изометрией каждую грань первого многогранника в грань второго.
История Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник, был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника.Legendre, A. M. "Éléments de géométrie". Paris, 1794. Note XII. P. 321–334. Там же была дана ключевая лемма о четырёх переменах знаков, которая использовалась Коши в его доказательстве.Cauchy A. L. Sur les polygones et polyèdres, Second mémoire // J. de l’École Polytechnique. 1813. V. 9. P. 87–98. Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена и исправлена Штейницем в 1934 годуSteinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934..
Вариации и обобщения Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.
Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен. Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.
Согласно теореме Александрова о развёртке, условие конгруэнтности граней можно ослабить до условия изометричности внутренней метрики поверхности многогранника. Более того, то же верно для любой замкнутой выпуклой поверхности. Последнее доказано Алексеем Васильевичем Погореловым.А. В. Погорелов. Однозначная определённость общих выпуклых поверхностей. Монографии института математики, вып. II. 1952. Другое доказательство было получено Юрием Александровичем Волковым.,
См. также Лемма о руке Примечания
Литература Н. П. Долбилин, Жемчужины теории многогранников. М.: МЦНМО, 2000. 40 с. ISBN 5-900916-48-0; Тираж 2000 экз. Серия Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 5. Лекция 24 в
Категория:Комбинаторная геометрия Категория:Теоремы о многогранниках