Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Доказана Марком Крейном и Давидом Мильманом в 1940 годуM. Krein, D. Milman, On extreme points of regular convex sets, Studia Mathematica 9 (1940), 133—138..
Формулировка
Выпуклый компакт в локально выпуклом пространстве совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек .
Замечания
Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.
Существуют топологические векторные пространства, содержащие выпуклые компакты без крайник точекRoberts, James W. «A compact convex set with no extreme points.» Studia Mathematica 60.3 (1977): 255—266..
Утверждение аналогичное теореме Крейна — Мильмана не выполняется в пространствах Адамара со слабой топологией.
Приложения
Теорема применяется для доказательств неизоморфности различных банаховых пространств. Применена де Бранжем в изящном варианте доказательства теоремы Стоуна — Вейерштрасса.
Примечания
Литература
Крейна — Мильмана Категория:Функциональный анализ Категория:Выпуклая геометрия Категория:Выпуклые оболочки Категория:Комбинаторная геометрия