Оператор Лапла́са (лапласиа́н, дельта-оператор) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций, ставящий в соответствие функции в -мерном пространстве функцию: .
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается как , то есть в виде скалярного произведения набла-оператора на себя. Оператор Лапласа симметричен.
С помощью оператора Лапласа удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
Оператор Д’Аламбера — обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений, включает в себя вторую производную по времени. Векторный оператор Лапласа — обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.
Обобщение второй производной Оператор Лапласа можно рассматривать как естественное обобщение на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной — если функция имеет в окрестности точки непрерывную вторую производную , то, как это следует из формулы Тейлора: при , при , вторая производная есть предел: .
Если, переходя к функции от переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки рассматривать её -мерную шаровую окрестность радиуса и разность между средним арифметическим:
функции на границе такой окрестности с площадью границы и значением в центре этой окрестности , то в случае непрерывности вторых частных производных функции в окрестности точки значение лапласиана в этой точке есть предел
.
Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула:
, где — объём окрестности .
Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точкиТиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968 г. 208с.. Эти пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции , Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.
Выражения в криволинейных системах координат В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве :
где — коэффициенты Ламе.
В цилиндрических координатах вне прямой :
В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):
или
В случае если в n-мерном пространстве:
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
В общем случае, если на гладком многообразии задана локальная система координат и — риманов метрический тензор на , то есть метрика имеет вид: , обозначая через элементы матрицы и . дивергенция векторного поля , заданного координатами (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка ) на многообразии вычисляется по формуле: , а компоненты градиента функции f — по формуле . Оператор Лапласа — Бельтрами на : . Значение является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.
Примечания
Ссылки MathWorld description of Laplacian
Категория:Векторный анализ Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных Категория:Дифференциальные операторы Категория:Гармонические функции