Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.
Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.
Эквивалентные определения Разрешимая группа — группа , такая что убывающий ряд
в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.
Можно доказать, что если — нормальная подгруппа в , разрешима и факторгруппа разрешима, то разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:
Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп , такая что является нормальной подгруппой , и — абелева группа.
Свойства Разрешимость конечной группы эквивалентна существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы циклические конечного порядка. Последнее следует из теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп. Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо. Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима. Согласно теореме Бёрнсайда, любая группа, порядок которой делится менее чем на три различных простых числа, разрешима. Согласно теореме Файта — Томпсона, конечная группа нечётного порядка разрешима.
Примеры Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы. Симметрическая группа является разрешимой тогда и только тогда, когда . Группа невырожденных верхних треугольных матриц разрешима. Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой. Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа порядка 60.
Примечания
Литература
Ссылки Порядки неразрешимых групп —
Категория:Теория групп