Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.
Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.
Определение При выполнении КМА пространство сигналов представляется в виде системы вложенных подпространств , отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в называется совокупность замкнутых пространств если выполнены некоторые условия. (1) Условие вложенности: для всех . Все пространство сигналов в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней декомпозиции сигнала; (2) Условие полноты и плотности разбиения: плотно в (3) Условие ортогональности подпространств:
(4) Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:
(5) Масштабное преобразование любой функции по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:
(6) Существует , целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства : Функция называется скейлинг-функцией (scaling function).
Свойства Обозначим сдвиги и растяжения функции
Для любого функции образуют ортонормированный базис в
Если то .
Функция из условия (5) называется масштабирующей для данного КМА.
Построение ортогональных базисов всплесков Пусть образуют КМА. Обозначим через ортогональное дополнение к в пространстве Тогда пространство раскладывается в прямую сумму Таким образом, проводя последовательное разложение пространств и учитывая условие (3), получим
А используя условие (2), имеем:
Таким образом, пространство разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств Важным является то, что функция порождает другую функцию целочисленные сдвиги которой являются ортонормированным базисом в Построение такой может быть осуществлено при помощи следующей теоремы.
Многомерный КМА В общем случае мерного пространства ортонормированный базис образует функций, при помощи которых осуществляется КМА любой функции их пространства, при этом нормировочный множитель равен .
Примечания Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1 Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория Всплесков, (2005), Физматлит, Москва, ISBN 5-9221-0642-2
Категория:Функциональный анализ