Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.
Интегральные преобразования задаются формулой
,
где функции называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства , при этом функция называется ядром интегрального преобразования.
Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:
Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.
Таблица преобразований (одномерный случай) Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами ,
, то:
+ Таблица интегральных преобразований (одномерный случай) Преобразование Обозначение t1 t2 u1 u2 Преобразование Фурье Синус-преобразование Фурье Косинус-преобразование Фурье Преобразование Хартли Преобразование Меллина Двустороннее преобразование Лапласа Преобразование Лапласа Преобразование Вейерштрасса Преобразование Ханкеля Интегральное преобразование Абеля Преобразование Гильберта Ядро Пуассона Идентичное преобразование
Список интегральных преобразований Интегральное преобразование Абеля Преобразования Бесселя Преобразование Бушмана Преобразование Бэйтмена Преобразование Вейерштрасса Преобразование Ханкеля Преобразование Гегенбауэра Преобразование Гильберта Преобразование Конторовича — Лебедева Одностороннее преобразование Лапласа Двустороннее преобразование Лапласа Преобразование Мейера Преобразование Мелера — Фока Преобразование Меллина Преобразование Нерейна Преобразование Радона Преобразование Стилтьеса Преобразование Фурье Преобразование Хартли Преобразование Лагерра S-преобразование
Литература
См. также Дискретные преобразования
Ссылки Таблицы интегральных преобразований на EqWorld: МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
*