Формула Бине́ — Коши́ — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Ж. Бине и О. Коши.
Формулировка
Произведение двух прямоугольных матриц и дает квадратную матрицу порядка , если имеет столбцов и строк, а матрица имеет столбцов и строк. Миноры матриц и одинакового порядка, равного наименьшему из чисел и , называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы ) и строках (матрицы ) с одинаковыми номерами.
Определитель матрицы равен нулю, если , и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка , если (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы и строк матрицы с возрастающими номерами )Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009..
Замечания
В случае формула очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы являются линейными комбинациями столбцов матрицы , то в случае, когда число столбцов матрицы больше числа столбцов матрицы , матрица , очевидно, является вырожденной (то есть её определитель равен нулю). В случае формула Бине — Коши принимает хорошо известный вид: . В случае доказательство формулы Бине — Коши более сложно.
Пример Пусть
Тогда
и соответствующие миноры имеют вид
при всех , принимающих значения от до .
Формула Бине — Коши в этом случае дает равенство
из которого (в случае, когда все и являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского:
Литература
Примечания
Ссылки Доказательство теоремы (Лекция В.П. Григорьева, МЭИ)
Бине — Коши Категория:Определители