Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа есть решение уравнения

Вещественный десятичный логарифм числа существует, если (комплексный десятичный логарифм существует для всех ). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его . Примеры:

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны: Формула Пример Произведение Частное от деления Степень Корень Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму: Найти в таблицах логарифмы чисел . Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения . По логарифму произведения найти в таблицах само произведение. Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов:

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: Она определена при всех Область значений: . График этой кривой часто называется логарифмикой.

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

Ось ординат является вертикальной асимптотой, поскольку:

Применение Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа (характеристику логарифма) легко определить. Если , то на 1 меньше числа цифр в целой части числа . Например, сразу очевидно, что находится в промежутке . Если , то ближайшее к целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, находится в интервале .

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на Например:

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от до . Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

+Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10CЧислоЛогарифмХарактеристикаМантиссаЗаписьn lg(n)CM = lg(n) − C5 000 000 6.698 970...60.698 970...6.698 970...501.698 970...10.698 970...1.698 970...50.698 970...00.698 970...0.698 970...0.5−0.301 029...−10.698 970....698 970...0.000 005−5.301 029...−60.698 970....698 970...

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса , поскольку: , где — значащая часть числа .

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов: Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература Теория логарифмов

История логарифмов

Ссылки Десятичные (бригсовы) логарифмы.

Примечания

Категория:Логарифмы