Топологическая семантика — класс моделей неклассических логик, использующий понятия общей топологии, основывающихся на свойстве псевдобулевости решёток открытых множеств. Первые топологические модели построены в 1930-е годы, после появления в 1950-е годы семантики Крипке стали фактическим одним из её вариантов.
Алгебра Линденбаума для интуиционистской логики является псевдобулевой, эту же структуру, как обнаружено Куратовским в 1930 году, образуют решётки открытых множеств топологических пространств. Таким образом, формулами интуиционистской логики можно считать открытые множества некоторого пространства (например, множества вещественных чисел); формула считается ложной, если она совпадает с пустым множеством, и истинной — если со всем пространством. Характерно, что интуиционисткому отрицанию соответствует не дополнение (, как в булевых алгебрах), а псевдополнение, в точности совпадающее с дополнением к топологической внутренности — . Соответственно, и импликация в топологической семантике определяется с использованием операции взятия внутренности: .
На том же принципе может быть построена топологическая семантика модальной логики: для топологического пространства топологической моделью называется пара , где — оценка, ставящая каждой пропозциональной переменной в соответствие множество топологического пространства, в которых эта переменная считается истинной — . Для каждой модальной формулы соответствующее множество топологического пространства определяется по индукции, начиная от для пропозициональных переменных и для пропозициональных связок следующим образом: , , .
Формула называется истинной в модели , если и общезначимой, если истинна в каждой топологической модели. Благодаря свойствам топологической внутренности в любой топологической модели наряду с аксиомой нормальности общезначимы следующие формулы: (поскольку ), (за счёт идемпотентности: ).
Для шкал Крипке эти формулы задают соответственно рефлексивность и транзитивность отношения. Наименьшая нормальная модальная логика, содержащая эти формулы, обозначается . В общем случае, на любой шкале Крипке с транзитивным и рефлексивным отношением , то есть являющейся предпорядком, можно естественным образом ввести — определить топологическое пространство с базой в качестве множеств вида , в ней открытыми будут являться все верхние множества. С такой топологией можно ввести модальный оператор , и соответственно двойственный ему через замыкание — , тем самым получив модальную интерпретацию и топологическую семантику для широкого класса логик, охватываемых шкалами Крипке.
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Неклассическая логика __NOTOC__