Тригонометри́ческие то́ждества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.
Основные тригонометрические формулы № Формула Допустимые значения аргумента1.1 1.2 1.3 1.4 Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на и соответственно. Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.
Формулы сложения и вычитания аргументов
Формулы для двух аргументов
№Формула Допустимые значения аргумента2.1 2.2 2.3 , , 2.4 , ,
Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).
Формулы для трёх аргументов №Формула Допустимые значения аргумента2.5 , , 2.6 , , 2.7 , , , 2.8 , , ,
Формулы кратных углов Формулы кратных углов следуют из формул сложения при равенстве аргументов.
Формулы двойного угла №Формула Допустимые значения аргумента3.1 3.2 3.3 3.4
Формулы тройного угла Формулы тройного угла бывает удобным использовать в виде произведения, к которому их можно привести, применяя формулы преобразования суммы ниже. №Формула Допустимые значения аргумента3.5 3.6 3.7 3.8
Формулы четверного угла №Формула Допустимые значения аргумента3.9 3.10 3.11 3.12
Общий случай №Формула Допустимые значения аргумента3.13 3.14 3.15 3.16
Формулы половинного угла Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла: №Формулы половинного угла4.14.24.34.4
Формулы понижения степени Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):
№Синус№Косинус№Произведение5.15.55.95.25.65.105.35.75.115.45.85.12
Формулы преобразования произведения функций Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2). №Синус и косинус№Тангенс и котангенс6.16.46.26.56.36.6
Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов: №Формула6.76.86.96.10
Формулы преобразования суммы функций №Синус и косинус№Тангенс и котангенс7.17.47.27.57.37.6
Справедливы также следующие частные случаи перехода от суммы к произведению и следствия из них: №Формула Допустимые значения аргумента7.7.1 , , 7.7.2 7.7.3 7.8.1 , , 7.8.2 7.8.3
Решение простых тригонометрических уравнений
Если — вещественных решений нет. Если — решением является число вида где
Если — вещественных решений нет. Если — решением является число вида
: Решением является число вида
Решением является число вида
Универсальная тригонометрическая подстановка
Любая тригонометрическая функция может быть выражена через тангенс или котангенс половинного угла:
Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний) Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,
где и не равны нулю одновременно, — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:
Примечание. Из вышеприведённой системы при следует, что , однако нельзя всегда считать, что , так как арктангенс определяет угол от до , а угол может быть, вообще говоря, любым. Нужно учитывать знаки и чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол , в результате чего добавлять или убавлять при необходимости.
Представление тригонометрических функций в комплексной форме
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:
где — основание натурального логарифма, — мнимая единица.
При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:
Отсюда следует, что
Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.
См. также Гиперболические функции Интегральный синус Интегральный косинус Комплексные числа Многочлены Чебышёва Обратные тригонометрические функции Редко используемые тригонометрические функции Решение треугольников Синус-верзус Сферическая тригонометрия
Тригонометрические функции Тригонометрические функции от матрицы Тригонометрический ряд Фурье Функция Гудермана Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса) Эллиптические функции
Категория: Тригонометрия Категория: Тождества