Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного .
Условия Коши — Римана эквивалентны равенству нулю второй производной Виртингера.
Формулировка
В декартовых координатах Для того чтобы функция , определённая в некоторой области комплексной плоскости, была дифференцируема в точке как функция комплексного переменного , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:
Компактная запись: или
Если условия Коши — Римана выполнены, то производная представима в любой из следующих форм:
Доказательство
1. Необходимость По условию теоремы существует предел
не зависящий от способа стремления к нулю.
Вещественное приращение. Положим и рассмотрим выражение
Существование комплексного предела равносильно существованию одного и того же предела в любом направлении, включая Поэтому в точке z0 существует частная производная функции f(z) по x и имеет место формула
Чисто мнимое приращение. Полагая , находим
Это означает, что если функция дифференцируема, то производные функции по x и по y точно одинаковы, то есть необходимость условий Коши — Римана доказана.
2. Достаточность Иными словами, нужно доказать в обратную сторону — что если производные функции по x и по y действительно одинаковы, то функция оказывается дифференцируемой вообще в любых направлениях.
Приращение функции Следуя определению дифференцируемости, приращение функции в окрестности точки может быть записано в виде
где комплекснозначная функция служит «придаточным» слагаемым и стремится к нулю при быстрее, чем и то есть
Составим теперь разностное соотношение и преобразуем его к виду
Условие дифференцируемости Теперь, чтобы доказать достаточность условий Коши — Римана, подставим их в разностное соотношение и получим следующее:
Заметим, что при стремлении к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первое остаётся неизменным. Поэтому предел одинаков в любом направлении приращения а не только вдоль вещественной и мнимой осей, а значит, этот предел существует, что и доказывает достаточность.
В полярных координатах В полярной системе координат условия Коши — Римана выглядят так:
Компактная запись:
Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:
Тогда условия Коши — Римана связывают модуль и аргумент функции следующим образом:
А если функция и её аргумент выражены в полярной системе одновременно:
то запись приобретает вид:
Геометрический смысл условий Коши — Римана Пусть функция где дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости два семейства кривых (линии уровня). Первое семейство: Второе семейство: Тогда условия Коши — Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.
Алгебраический смысл условий Коши — Римана Если рассматривать множество комплексных чисел как векторное пространство над , то значение производной функции в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства в себя (-линейность). Если же рассматривать как одномерное векторное пространство над , то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства в себя (-линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число . Очевидно, всякое -линейное отображение -линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) изоморфно полю вещественных матриц вида с обычными матричными операциями, условия Коши — Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения в точке (точнее, отображения в точке ), являются условиями -линейности , т.е. .
История Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.
Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.
См. также Комплексный анализ
Литература
Категория:Комплексный анализ Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных Категория:Гармонические функции