Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии. Названы в честь Марселя Берже.
Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа.
Построение
Рассмотрим как сферу в комплексном пространстве . На ней действует комплексными умножениями. Таким образом на можно построить изометрическое действие с помощью комплексных поворотов и сдвигов по . В есть однопараметрическое семейство подгрупп изоморфных , с элементами типа . Фактор по действию диффеоморфен , но индуцированная риманова метрика на нём отличается от стандартной. Полученное риманово многообразие называется сферой Берже.
Свойства Из формулы О’Нэйла, секционная кривизна положительна. При пространства коллапсируют к , стандартной 2-сфере радиуса . При , тензор кривизны сходится к тензору кривизны пространства . Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на . Круговые сферы в комплексной проективной плоскости с метрикой Фубини — Штуди с точностью до коэффициента являются сферами Берже. На сферах Берже, окружности в расслоении Хопфа образуют двупараметрическое семейство замкнутых геодезических, которые при достаточно больших являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия