Направленное множество — непустое множество с заданным на нём направлением — рефлексивным транзитивным отношением (то есть предпорядком) с верхней гранью для каждой пары элементов.
Направленные множества являются обобщением линейно упорядоченных множеств, то есть любое линейно упорядоченное множество является направленным (для частично упорядоченного множества это, вообще говоря, неверно). В топологии направленные множества используются для определения направленностей, являющихся обобщением последовательности и объединяющих понятие предела, используемого в математическом анализе.
Примеры Множество натуральных чисел со стандартным отношением порядка — направленное множество. На множестве пар натуральных чисел направление может быть определено следующим образом: тогда и только тогда, когда и .
На множестве вещественных чисел с отмеченной точкой можно ввести направление следующим образом: тогда и только тогда, когда — это пример направленного множества, не являющегося частично упорядоченным. Тривиальным примером частично упорядоченного множества, не являющегося направленным, является множество , в котором определены лишь отношения и .
Если — топологическое пространство, а — точка из , то возможно задать направление на множестве окрестностей следующим образом: тогда и только тогда, когда содержит .
В частично упорядоченном множестве множество нижних границ некоторого элемента , то есть множество вида , является направленным множеством.
Направленные подмножества Отношение направления может не быть антисимметричным, и, следовательно, направленные множества не всегда являются частично упорядоченными. Однако термин направленное множество также часто употребляется в контексте частично упорядоченных множеств. Таким образом, подмножество частично упорядоченного множества , называется направленным подмножеством, если непусто, и для всех и из существует из такой, что и . Здесь отношение порядка на элементах из наследуется от ; поэтому рефлексивность и транзитивность не требуются в явном виде.
Литература
Категория:Математические отношения Категория:Теория порядков Категория:Общая топология