Четверна́я гру́ппа Кле́йна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается или (от — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году.
Бинарная операция между элементами (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли:
Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической. Является прямым произведением циклических групп второго порядка ; наименьшей по порядку нециклической группой.
Все подгруппы четверной группы Клейна образуют решётку, которая называется ромб .
Является простейшей группой диэдра . Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу и четверную группу Клейна , состоящую из подстановок .
Встречается во многих разделах математики, примеры изоморфных ей групп: множество с операцией побитовое исключающее ИЛИ; приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7 и по модулю 12, состоящая из классов 1, 5, 7, 11; группа симметрий ромба в трёхмерном пространстве, состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на и два отражения относительно диагоналей. группа поворотов тетраэдра на угол вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом).
Примечания
Литература
Категория:Конечные группы