Круговое поле (поле деления круга степени ) — поле , порождённое присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня -й степени из единицы (корней кругового многочлена). Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.
Название связано с тем, что деление единичной окружности на равных частей равносильно построению первообразного корня -й степени из единицы на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.
Например, состоит из комплексных чисел вида , где и — рациональные числа.
Свойства Круговое поле содержит все корни -й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня -й степени из единицы. Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена .
, поэтому обычно предполагается, что остаток от деления на 4 не равен 2 (). При выполнении этого условия разным соответствуют неизоморфные круговые поля.
Поле является абелевым расширением поля с группой Галуа , где — мультипликативная группа классов вычетов по модулю . Степень расширения равна (функция Эйлера).
Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.
Литература
Ссылки
Категория:Алгебраическая теория чисел Категория:Теория полей