Владимир Александрович Воеводский () — советский, российский и американский , внёсший значительный вклад в алгебраическую геометрию и основания математики. Лауреат Филдсовской премии (2002), постоянный профессор Института перспективных исследований.
Среди основных результатов на стыке алгебраической геометрии и алгебраической топологии — построение теории и доказательство её средствами и , составлявших существенную проблемную часть . В области оснований математики инициировал и внёс решающий вклад в программу создания унивалентных оснований математики — формального языка для абстрактных разделов математики, обеспечивающего автоматическую проверку доказательств на компьютере.
Биография Родился в семье учёных — выпускников МГУ, отец — астрофизик, лауреат Государственной премии за работы по созданию Баксанской нейтринной обсерватории (1998)Указ Президента РФ за № 870 от 22 июля 1998 года, мать — химик, специалист по ядерному магнитному резонансу. Раннее детство провёл в коммунальной квартире на площади Ногина, впоследствии семья переселилась в отдельную квартиру в Малом Ивановском переулке.
В старших классах сменил несколько школ, аттестат о среднем образовании получил в 1983 году, в формировании строгого и точного математического мышления отмечал влияние учебника по геометрии под редакцией КолмогороваПримерно к этим же годам относится активная критика школьных учебников Колмогорова за излишнюю формальность изложения. В том же году поступил на механико-математический факультет МГУ. Получив из-за сильной аллергии «белый билет» — освобождение от срочной воинской службы, отсрочку от которой не предоставляли прервавшим обучение в вузе, взял академический отпуск, после возвращения из которого был отчислен, но впоследствии восстановился.
Во время учёбы в университете увлёкся алгебраической геометрией, в числе причин указывал на работу в этой области таких интересных людей, как Игорь Шафаревич. Во время академического отпуска подрабатывал преподавателем программирования на учебно-производственном комбинате, там встретился с Георгием Шабатом. Шабат познакомил Воеводского с Программой Гротендика, к которой впоследствии неоднократно обращался в своём творчестве, к осмыслению и развитию идей программы относятся и первые научные исследования Воеводского, проведённые совместно с Шабатом и вылившиеся в ряд публикаций, одна из которых получила одобрение Гротендика. В 1989 году, по результатам I семестра четвёртого курса, несмотря на наличие опубликованных работ в ведущих журналах, окончательно отчислен из университета за академическую неуспеваемость.
В 1989—1990 годы опубликовал несколько работ вместе с Михаилом Капрановым, вскоре иммигрировавшим в США. В 1990 году Капранов заполнил за Воеводского заявку на поступление в аспирантуру Гарвардского университета, и, несмотря на формальное отсутствие высшего образования, тот был принят. Квалификационный экзамен, на сдачу которого отводятся первые три года обучения в аспирантуре, сдал уже через месяц после поступления, благодаря чему был освобождён от занятий и смог сконцентрироваться на исследовательской работе. Находясь в аспирантуре, постоянно нарушал регламенты: уезжал в Россию на 4 месяца, жил прямо в офисе, отказываясь снять жильё, при этом руководство факультета во всех случаях содействовало сохранению перспективного учёного в Гарварде. Докторскую диссертацию на тему «Гомологии схем и ковариантных мотивов» защитил в 1992 году под руководством Давида Каждана.
По окончании аспирантуры прошёл годичную постдокторантуру в принстонском Институте перспективных исследований, после чего вернулся в Гарвард и три года состоял в Обществе стипендиатов (), в которое ежегодно набирают 8 выпускников аспирантур и предоставляют возможность сфокусироваться на исследованиях, не отвлекаясь на преподавание.
В 1995 году женился на математике Надежде Шалаби (род. 1966), в браке, который завершился разводом в 2008 году, родились двое дочерей (Тали и Дина).
С 1996 по 1999 год работал в должности ассоциированного профессора в Северо-Западном университете, где сотрудничал с крупнейшими специалистами по алгебраической -теории Андреем Суслиным и , также в течение этого периода был приглашённым профессором в Институте Макса Планка и в Гарварде. В 1998 году прочёл пленарный доклад «Теория -гомотопий» на Международном конгрессе математиков в Берлине.
В 1998 году приглашён на постоянную позицию в Институт перспективных исследований; в январе 2002 года, за несколько месяцев до награждения медалью Филдса, получил должность пожизненного профессора института. Во время работы в Принстоне обращался к математической биологии в части исторической генетики и к теории вероятностей, работая над переформулировкой её на языке теории категорий, считая важным внести вклад в приложения, а в период 2005—2006 годов полностью выключился из академической деятельности. В 2006 году опубликовал первые заметки по возможностям применения геометрических понятий к теории типов, и, после окончательного доказательства гипотезы Блоха — Като в 2010 году, полностью погрузился в новое направление, выдвинув программу унивалентных оснований. К программе постепенно подключился значительный коллектив специалистов по математической логике, теории категорий, системам автоматического доказательства. Академический год 2012/13 в Институте перспективных исследований по инициативе Воеводского был объявлен «годом унивалентных оснований», в рамках которого в сотрудничестве Воеводского, и Кокана была открыта специальная исследовательская программа, собравшая около 30 учёных, совместно написавших за этот период 600-страничную книгу.
Умер у себя дома в Принстоне, обнаружен по обращению бывшей жены, которая некоторое время не могла с ним связаться и знала о тяжёлом заболевании; по её сообщениям, причиной смерти могла быть аневризма. Похоронен 27 декабря 2017 года на Химкинском кладбище в Москве, участок 20.
Научный вклад
Алгебраическая геометрия В работах 1989—1990 годов по высшим группоидам, написанных в соавторстве с Капрановым, развил идею Гротендика о возможности описания CW-комплексов с гомотопической точки зрения как группоидов. В 1998 году построен контрпример к одной из основных конструкций этих работ, который Воеводский с Капрановым изначально не признали, и статья Симпсона не была принята в журналы; лишь в 2013 году Воеводский подтвердил доводы Симпсона.
В трудах периода гарвардской аспирантуры разработал конструкцию, в которой всякой схеме соответствуют триангулируемая категория и ковариантный функтор из категории схем над в . Полученная конструкция обладает всеми свойствами теории гомологий, таким образом, выявлена новая возможность работать со схемами (и, в частности, с алгебраическими многообразиями) средствами алгебраической топологии.
Используя созданный в диссертации инструментарий подключился к решению ключевых проблем алгебраической -теории и проработке деталей теории мотивных когомологий. В 1996—1998 годы совместно с создал , основная идея которой заменить в определении гомотопии единичный интервал (не являющийся алгебраическим многообразием) аффинной прямой для возможности полной алгебраизации теории гомотопий. Этим работам посвящён пленарный доклад на Международном конгрессе математиков в 1998 году.
Теории мотивных когомологий в 2000 году Математической предметной классификации присвоен отдельный код 14F42 в составе подраздела «Теории гомологий и когомологий» в разделе «Алгебраическая геометрия». В 2010 году к этому же коду присоединена также теория -гомотопий под наименованием «теория мотивных гомотопий».
В 1996 году выпустил препринт с первым доказательством гипотезы Милнора, составлявшей основную проблему , согласно которой существует изоморфизм между кольцами Милнора и — с коэффициентами в для всякого поля характеристики, отличной от 2, и любого целого . В доказательстве, кроме собственных разработок и теории -гомотопий, существенно использованы результаты Меркурьева, Суслина, Фридландера и . Несмотря на всеобщее признание результата в конце 1990-х годов и получение Филдсовской премии за доказательство гипотезы, окончательный вариант, устраняющий все недочёты в доказательствах, был опубликован в 2003 году.
С конца 1990-х годов принялся за решение проблемы Блоха — Като, для которой гипотеза Милнора является частным случаем при . Несмотря на то, что подход к доказательству Воеводский, по собственному утверждению, выработал уже в конце 1996 года, проработка результата потребовала значительной подготовительной работы, как по линии алгебраической -теории, так и мотивной теории когомологий. Лишь к концу 2000-х годов Суслину, Жуховицкому и Вейбелю удалось доказать необходимое обобщение результата Роста, а работу по развитию мотивной теории когомологий и соединение всех деталей доказательства Воеводский завершил в феврале 2010 года.
Основания математики Ещё с середины 1990-х годов считал одной из угроз математики возможность накопления незамеченных ошибок из-за чрезвычайного усложнения современных направлений, и с 2002 года искал возможность применить системы автоматического доказательства к абстрактным разделам математики, но не находил удовлетворительных решений. В конце 2005 года обнаружил возможность описания , средствами λ-исчисления с зависимыми типами, лежавшего в основе ряда систем автоматического доказательства, эксплуатирующих изоморфизм Карри — Ховарда об эквивалентности между компьютерными программами и математическими доказательствами. Идеи применения интуиционистской теории типов к теории категорий и топологии публиковались с середины 1990-х годов, но не к высшим группоидам, которые, согласно Воеводскому, ссылающемуся в свою очередь на соответствие Гротендика, являются фундаментальными математическими объектами, и соответствуют гомотопическим типам.
К 2006 году относятся первые эксперименты Воеводского с системой Coq. В 2009 году решил основные технические проблемы на пути применения интуиционистской теории типов к высшим группоидам, прежде всего, разработав конструкцию для иерархии универсумов и постулировав аксиому унивалентности, утверждающую равенство между объектами, между которыми может быть установлена эквивалентность: . Хотя в математике традиционно множество результатов устанавливается для классов эквивалентных объектов, «с точностью до…» — изоморфизма, гомеоморфизма, гомотопии, — считается, что введение аксиомы унивалентности на уровне оснований стало революционным новшеством, кроме всего, обеспечивающим множество технических эффектов благодаря возможности избавиться в формализациях от громоздких конструкций с классами эквивалентностей. Ещё одной фундаментальной особенностью подхода Воеводского к основаниям считается объединение в рамках одной теории логических и математических понятий, где одни и те же конструкции могут быть наделены той или иной интерпретацией, в отличие от классического подхода, идущего от Гильберта и Тарского, где логика эпистемологически первична — вначале определяется логическая система, а потом её средствами строятся собственно математические теории.
С 2010 года приступил к разработке «Библиотеки унивалентных оснований» — коллекции формальных описаний на Coq, позволяющих формулировать доказательства для абстрактных разделов математики, в течение трёх месяцев удалось построить систему с достаточно широким охватом. В 2010 году в рамках запроса на грант подготовил программу разработки унивалентных оснований, в которой выделил следующие её возможности: естественная аксиоматизация категорных и высшекатегорных языков, применение языков зависимых типов, прямая аксиоматизация понятий на основе гомотопических типов, без использования инструментария теории множеств, применимость как для конструктивной так и неконструктивной математики.