Двоичный логарифм — логарифм по основанию 2. Другими словами, двоичный логарифм числа есть решение уравнения
Двоичный логарифм вещественного числа существует, если Согласно стандарту ISO 31-11, он обозначаетсяИногда, особенно в немецких изданиях, двоичный логарифм обозначается (от ), см. или . Примеры:
История Исторически двоичные логарифмы нашли своё первое применение в теории музыки, когда Леонард Эйлер установил: двоичный логарифм отношения частот двух музыкальных тонов равен количеству октав, которое отделяет один тон от другого. Эйлер также опубликовал таблицу двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 8 с точностью до семи десятичных знаков . ..
С созданием информатики выяснилось, что двоичные логарифмы необходимы для определения количества битов, требующихся для кодирования сообщения. Другие области, в которых часто используется двоичный логарифм, включают комбинаторику, биоинформатику, криптографию, проведение спортивных турниров и фотографию. Стандартная функция для вычисления двоичного логарифма предусмотрена во многих распространённых системах программирования.
Алгебраические свойства В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны: Формула Пример Произведение Частное от деления Степень Корень Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:
Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:
Связь двоичного, натурального и десятичного логарифмов:
Функция двоичного логарифма Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию двоичного логарифма: . Она определена при всех область значений: . График этой функции часто называется логарифмикой, она обратна для функции . Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:
Ось ординат является вертикальной асимптотой, поскольку:
Применение
Теория информации Двоичный логарифм натурального числа позволяет определить число цифр во внутреннем компьютерном (битовом) представлении этого числа: (скобки обозначают целую часть числа) Информационная энтропия — мера количества информации, также основана на двоичном логарифме
Сложность рекурсивных алгоритмов Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе «разделяй и властвуй» — таких, как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье, двоичный поиск
Комбинаторика Если двоичное дерево содержит узлов, то его высота не меньше, чем (равенство достигается, если является степенью 2) . Соответственно, число Стралера — Философова для речной системы с притоками не превышает . .
Изометрическая размерность частичного куба с вершинами не меньше, чем Число рёбер куба не более, чем равенство имеет место, когда частичный куб является графом гиперкуба.
Согласно теореме Рамсея, неориентированный граф с вершинами содержит либо клику, либо независимое множество, размер которого логарифмически зависит от Точный размер этого множества неизвестен, но наилучшие в настоящий момент оценки содержат двоичные логарифмы.
Другие применения Число кругов игры по олимпийской системе равно двоичному логарифму от числа участников соревнований.
В теории музыки, чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутоновШилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. М.: Физматгиз, 1963. 20 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37..
Примечания
Литература
Ссылки Таблица двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 100.
Категория:Логарифмы Категория:Двоичная арифметика