Равноме́рно темпери́рованный строй, равномерная темперация () — темперированный музыкальный строй, в котором каждая октава делится на математически равные интервалы, в наиболее типичном случае на двенадцать полутонов, каждый из которых равен . Такой строй господствует в европейской профессиональной музыке (академической и эстрадной) начиная с XVIII века до наших дней. Важным преимуществом равномерной темперации является возможность транспонирования пьесы на произвольный интервал.
Исторический очерк Равномерно темперированный строй возник в обстановке поисков учёными разных специальностей «идеального» для музыки строя. Исторически предшествующие чистый и среднетоновый строи не позволяли транспонировать и модулировать в отдалённые тональности без того, чтобы в консонирующих созвучиях — прежде всего, в трезвучиях и их обращениях — не возникал резкий акустический диссонанс.
Непосредственным предшественником равномерно темперированного строя в Европе был «хорошо темперированный» строй — семейство неравномерных темпераций, позволявших более или менее успешно (с разной степенью «акустической чистоты») играть в любой из тональностей. Одним из теоретиков и пропагандистовСм. Werckmeister A. Musicae mathematicae hodegus curiosus… (1687), Musikalische Temperatur, oder… (1691) такого строя был Андреас Веркмейстер. Многие исследователи разделяют мнение, что «Хорошо темперированный клавир» Иоганна Себастьяна Баха, хорошо знакомого с работами Веркмейстера, написан для инструментов именно с такой неравномерной темперацией.
Невозможно с достоверностью указать, кто именно «изобрёл» равномерную темперацию. Среди первых её теоретиков называют Генриха Грамматеуса (1518), Винченцо Галилея (1581) и Марена Мерсенна. Симон Стевин в своём труде «О теории певческого искусства» (ок. 1585) дал математически точный расчёт равномерной темперации. Написанная на родном языке Стевина (фламандском) его работа не получила резонанса; посмертная слава пришла к Стевину спустя 300 лет, в 1884 году, когда она была опубликована и затем переведёна на другие языки.
Одним из первых авторов, давших теоретическое обоснование 12-ступенной равномерной темперации, был китайский принц Чжу Цзайюй (朱載堉), в трактате 1584 годаHart R. Quantifying Ritual: Political Cosmology, Courtly Music, and Precision Mathematics in Seventeenth-Century China . Однако, какое практическое значение расчёты принца имели для западной музыкально-теоретической традиции, неизвестно.
У нового строя были свои оппоненты (например, Джузеппе Тартини) и свои пропагандисты (особенно Иоганн Георг Нейдхардт). Равномерно темперированный строй вызывал отклонения от акустической («природной») чистоты созвучий, в результате в них появились небольшие биения. По мнению одних, эти нарушения чистоты были незначительной потерей, особенно с учётом новых возможностей, которые такой строй давал развитию тональной гармонии. Другие же рассматривали потерю «природной» чистоты как посягательство на «чистоту» музыки.
Противоречивость эстетических критериев (природная чистота против модуляционной свободы и неограниченной транспозиции) отражалась в трудах теоретиков музыки. Так, Веркмейстер утверждал, что в новом строе все аккорды (подразумевались прежде всего трезвучия) приобретают монотонную симметрию, в то время как в «хороших» строях каждый аккорд имел своё неповторимое (акустическое) звучание. С другой стороны, он же в позднем трактате «Musikalische Paradoxal-Discourse» (1707) в полемике с Нейдхардтом защищал свой приоритет в «изобретении» равномерно темперированного строя. Уже в XVIII веке идея свободного развёртывания тональности одержала верх над идеей природной «акустической» чистоты. В академической и эстрадной музыке равномерная темперация получила мировое признание и стала фактическим стандартом музыкального строя.
Вычисление частот звуков Можно математически вычислить частоты для всего звукоряда, пользуясь формулой: ,
где f0 — частота камертона (например Ля 440 Hz), а i — количество полутонов в интервале от исследуемого звука к эталону f0.
Последовательность вычисленных таким образом частот образует геометрическую прогрессию:
например, можно вычислить частоту звука на тон (2 полутона) ниже от камертона Ля — ноты соль:
если надо вычислить частоту ноты Соль, но на октаву (12 полутонов) выше:
Частоты двух полученных нот Соль отличаются в два раза, что дает чистую октаву.
Сравнение с натуральным строем Равномерно темперированный строй можно отобразить в виде значений интервалов в центах: ТонC1CDD♯EFFGGAABC2 Цент0100200300400500600700800900100011001200
Следующая таблица показывает количественные отличия интервалов равномерно темперированного ряда от натуральных интервалов:
ИнтервалРавномерно темперированные интервалыНатуральные интервалыРазница в центахПрима центов центов 0Малая секунда центов центов −11,73Большая секунда центов центов −3,91Малая терция центов центов −15,64Большая терция центов центов 13,69 Кварта центов центов 1,96 Тритон центов центов 9,78 Квинта центов центов −1,96Малая секста центов центов −13,69Большая секста центов центов 15,64Малая септима центов центов 3,91Большая септима центов центов 11,73Октава центов центов 0
Расчётные частоты для клавиатуры фортепиано
Примечания Значения частот рассчитаны исходя из стандартной частоты камертона ля1 = 440 Гц. О феномене неточного равенства рассчитанных и реальных частот настроенного фортепиано (расширения интервалов на краях диапазона), см. Кривые Рейлсбека.
Субконтроктава Охватывает звуки с частотами от 16,352 Гц (включительно) до 32,703 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 0.
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация 1 16,352 До2 C2 C0 -52 2 18,354 Ре2 D2 D0 -50 3 20,602 Ми2 E2 E0 -48 4 21,827 Фа2 F2 F0 -47 5 24,500 Соль2 G2 G0 -45 6 27,500 Ля2 A2 A0 -43 7 30,868 Си2 H2 B0 -41
Контроктава Охватывает звуки с частотами от 32,703 Гц (включительно) до 65,406 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 1.
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация 1 32,703 До1 C1 C1 -40 2 36,708 Ре1 D1 D1 -38 3 41,203 Ми1 E1 E1 -36 4 43,654 Фа1 F1 F1 -35 5 48,999 Соль1 G1 G1 -33 6 55,000 Ля1 A1 A1 -31 7 61,735 Си1 H1 B1 -29
Большая октава Охватывает звуки с частотами от 65,406 Гц (включительно) до 130,81 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 2.
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация 1 65,406 До C C2 -28 2 73,416 Ре D D2 -26 3 82,406 Ми E E2 -24 4 87,307 Фа F F2 -23 5 97,999 Соль G G2 -21 6 110,00 Ля A A2 -19 7 123,47 Си H B2 -17
Малая октава Охватывает звуки с частотами от 130,81 Гц (включительно) до 261,63 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 3.
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация 1 130,81 до c C3 -16 2 146,83 ре d D3 -14 3 164,81 ми e E3 -12 4 174,61 фа f F3 -11 5 196,00 соль g G3 -9 6 220,00 ля a A3 -7 7 246,94 си h B3 -5
Первая октава Включает звуки с частотами от 261,63 Гц (включительно) до 523,25 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 4.
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотацияКоординатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация 1 261,63 до1 c1 C4 -4 2 293,67 ре1 d1 D4 -2 3 329,63 ми1 e1 E4 -0 4 349,23 фа1 f1 F4 +0 5 392,00 соль1 g1 G4 +2 6 440,00 ля1 a1 A4 +4 7 493,88 си1 h1 B4 +6
Вторая октава Включает звуки с частотами от 523,25 Гц (включительно) до 1046,5 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 5.
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотацияКоординатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация 1 523,25 до2 c2 C5 +7 2 587,33 ре2 d2 D5 +9 3 659,26 ми2 e2 E5 +11 4 698,46 фа2 f2 F5 +12 5 783,99 соль2 g2 G5 +14 6 880,00 ля2 a2 A5 +16 7 987,77 си2 h2 B5 +18
Третья октава Включает звуки с частотами от 1046,5 Гц (включительно) до 2093,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 3 (или три штриха). В научной нотации имеет номер 6.
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотацияКоординатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация 1 1046,5 до3 c3 C6 +19 2 1174,7 ре3 d3 D6 +21 3 1318,5 ми3 e3 E6 +23 4 1396,9 фа3 f3 F6 +24 5 1568,0 соль3 g3 G6 +26 6 1760,0 ля3 a3 A6 +28 7 1975,5 си3 h3 B6 +30
Четвёртая октава Включает звуки с частотами от 2093,0 Гц (включительно) до 4186,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 4 (или четыре штриха). В научной нотации имеет номер 7.
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотацияКоординатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация 1 2093,0 до4 c4 C7 +31 2 2349,3 ре4 d4 D7 +33 3 2637,0 ми4 e4 E7 +35 4 2793,8 фа4 f4 F7 +36 5 3136,0 соль4 g4 G7 +38 6 3520,0 ля4 a4 A7 +40 7 3951,1 си4 h4 B7 +42
Пятая октава Включает звуки с частотами от 4186,0 Гц (включительно) до 8372,0 Гц. В нотации Гельмгольца наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 5 (или пять штрихов). В научной нотации имеет номер 8.
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотацияКоординатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация 1 4186,0 до5 c5 C8 +43 2 4698,6 ре5 d5 D8 +45 3 5274,0 ми5 e5 E8 +47 4 5587,7 фа5 f5 F8 +48 5 6271,9 соль5 g5 G8 +50 6 7040,0 ля5 a5 A8 +52 7 7902,1 си5 h5 B8 +54
Варианты равномерной темперации Наиболее общепринятой и распространённой равномерной темперацией (РТ) является 12-ступенная (именно ей соответствовала приведённая выше информация).
Однако существуют и варианты равномерной темперации с другим числом делений октавы (n). При этом формула для частот модифицируется в . Чтобы выражение «n-ступенная РТ» писать короче, вводится сокращение «n-тРТ», где числу n соответствует количество ступеней на октаву. Есть музыкальные произведения, написанные в 19-тРТNine Preludes for Two Pianos in 19-Tone Temperament by , 24-тРТ, 31-тРТConcert No. 2 for two violins and orchestra by Henk Badings, 1969 и даже 53-тРТLetter from B. Cicovacki to P. Scaruffi : … Иосип Славенски написал произведение для электронных инструментов с названием «Музыка в Натуральной тональной системе» (1937). В нём две части, первая написана для фисгармонии Бозанкета с 53 тонами в октаве…"(«…JOSIP STOLCER SLAVENSKI <…> composed a composition for electronic insruments with the title Music in the Natural Tonal System (1937). It includes two movements: the first movement is written for the Bosanquet enharmonium with 53 tones in an octave»). В начале XXI века П. А. Чернобривец работает над исследованием 20-ступенной равномерной темперации.