Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера, или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).
Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в ноль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.
Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.
Формулировка Пусть задан функционал
на пространстве гладких функций , где через обозначена первая производная по .
Предположим, что подынтегральная функция , дважды непрерывно дифференцируема. Функция называется функцией Лагранжа, или лагранжианом.
Если функционал достигает экстремума на некоторой функции , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение
которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.
Примеры Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа в предположении, что кратчайший путь существует и является гладкой кривой.
Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты и . Тогда длина пути , соединяющего эти точки, может быть записана через следующим образом:
Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:
позволяя сделать вывод о постоянстве внутренней производной:
или после ее табличного преобразования:
откуда получаем, что
Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что , , т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок прямой, соединяющий точки.
Многомерные вариации Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.
Если — путь в -мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу
только если удовлетворяет условию
В физических приложениях, когда является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.
Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции переменных. Если — какая-либо (в данном случае n-мерная) поверхность, то
где — независимые координаты, , ,
доставляет экстремум, если только удовлетворяет уравнению в частных производных
Если и — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».
Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.
В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной плёнки, приведённого в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой плёнки (если, конечно, нам удалось изначально записать для неё действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).
История
Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.
Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин предложил Эйлер в 1766 году).
Доказательство Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.
Мы хотим найти такую функцию , которая удовлетворяет граничным условиям , и доставляет экстремум функционалу
Предположим, что имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.
Если даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение (если минимизирует его) или уменьшать (если максимизирует).
Пусть — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию . Определим
где — произвольный параметр.
Поскольку даёт экстремум для , то , то есть
Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что
Используя граничные условия на , получим
Отсюда, так как — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:
Если не вводить граничные условия на , то также требуются условия трансверсальности:
Обобщение на случай с высшими производными
Лагранжиан может также зависеть и от производных порядка выше, чем первый.
Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:
Если наложить граничные условия на и на её производные до порядка включительно, а также предположить, что имеет непрерывные частные производные порядка , то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера — Лагранжа и для этого случая:
Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.
Два лагранжиана, отличающеся на полную производную, дадут одни и те же дифференциальные уравнения, однако максимальный порядок производных в этих лагранжианах может быть различный. Например, . Чтобы получить дифференциальное уравнение на экстремум, к достаточно применить «обычное» уравнение Эйлера — Лагранжа, а для , поскольку он зависит от второй производной, нужно использовать уравнение Эйлера — Пуассона с соответствующим слагаемым:
и в обоих случаях получится одно и то же дифференциальное уравнение .
Примечания
Литература Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979 Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979 Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.
Ссылки
Summary with some historical information Examples — задачи из вариационного исчисления.
Категория:Динамические системы Категория:Вариационное исчисление Эйлера — Лагранжа уравнения Эйлера — Лагранжа уравнения Категория:Теоретическая механика Эйлера — Лагранжа уравнения Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера