Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.
Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением
где — произвольное нечётное число, не равное единице, а — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом
поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при
Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке строят две последовательности и , сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения и имеют разные знаки по крайней мере при и . Указанные последовательности могут быть определены как и где — ближайшее целое число к .
Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях и было установлено ХардиHardy G. H. Weierstrass’s nondifferentiable function // Trans — Amer. Math. Soc, 17 (1916), р. 301—325. Впрочем и Вейерштрасс упоминал это утверждение в письме к Дюбуа-Реймону в 1873 году, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229..
Историческая справка
В 1806 году АмперAmpère, A. M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13. предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 13.. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привёл своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию:
однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Джозеф Гервер () доказал, что эта функция всё же имеет производную в некоторых точках, лишь в 1970 годуGerver J. // American Journal of Mathematics, Vol. 92, No. 1 (Jan., 1970), p. 33—55 ..
В 1872 году Вейерштрасс предложил свой контрпример — описанную выше функцию и представил строгое доказательство её недифференцируемостиДоклад Вейерштрасса, прочитанный в Прусской академии наук 18 июля 1872 года, опубликован в собрании сочинений (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.). . В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-РеймонаDu Bois-Reymond R. // J. für Math., 79 (1875), p. 21—37; Вейерштрасс был редактором этого журнала и сообщил о своём контрпримере в письме к Дюбуа-Реймону 23 ноября 1873 года, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229. .
Ещё один пример принадлежит ван дер Вардену (1930):
где фигурные скобки означают взятие дробной частиVan der Waerden B. L. // Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474—475..
Примечания
Литература Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6. Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.
Категория:Функции Категория:Объекты, названные в честь Карла Вейерштрасса