Ма́трицы Дира́ка (также известные как га́мма-ма́трицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.
Определение Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению
где — метрика Минковского сигнатуры — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.
Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:
(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).
Пятая гамма-матрица, γ⁵ Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:
(в представлении Дирака).
можно записать в альтернативном виде:
где — тензор Леви-Чивиты.
Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:
.
Некоторые свойства : Эрмитовость:
Собственные значения равны ±1, поскольку
Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:
Блочная структура Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ1, σ2, σ3, дополненных единичной матрицей . В представлении Дирака:
В представлении Вейля остаются теми же, но отличается, поэтому тоже изменена:
Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:
Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:
В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.
Тождества {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="" ! style="background:#ffdead;" |№!! style="background:#ffdead;" |Тождество |- | 1 || |- | 2 || |- | 3 || |- | 4 || |- | 5 ||
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="" ! style="background:#ffdead;" |№!! style="background:#ffdead;" |Тождество |- | 0 || |- | 1 || Любое произведение нечётного числа имеет нулевой след. |- | 2 || |- | 3 || |- | 4 || |- | 5 ||
Также для матриц Дирака выполняются тождества Фирца.
Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.
См. также Уравнение Дирака Кватернионы Тождества Фирца
Литература
Дирака Категория:Квантовая теория поля Категория:Квантовая механика