Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.
Формулировка
Доказательство Пусть для всех .
Сходимость: Если ряд сходится, то по критерию Коши для любого существует такое , что при и для любого выполняется:
В силу условия имеем:
Следовательно, критерий Коши выполнен и для ряда , то есть он сходится.
Расходимость: Если ряд расходится, то ряд также расходится по закону контрапозиции (если бы ряд сходился, то по доказанному выше сошелся бы и ряд ).
Признак сравнения отношений Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.
Формулировка
Доказательство Перемножая неравенства, составленные для , получаем или Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов и (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).
Предельный признак сравнения Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.
Формулировка
Доказательство Из мы знаем, что для любого существует такое, что для всех мы имеем , или, что то же самое:
Так как , мы можем взять достаточно малым, чтобы было положительным. Но тогда , и по вышеописанному признаку сравнения если сходится, то сходится и .
Точно так же , и тогда, если сходится, то сходится и .
Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.
Литература Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
Ссылки http://www.math24.ru/comparison-tests.html
С