Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт . Это иррациональное и алгебраическое числоDauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122..
Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаковR. Nemiroff and J. Bonnell: The first 1 million digits of the square root of 5 .
Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:
Через бесконечный вложенный радикал:
Вавилонский метод Вычисление корня из , начиная с , где :
Золотое сечение
Золотое сечение — среднее арифметическое и корня из 5Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1. (Note — this is a widely cited article).. () алгебраически можно выразить так:
Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:
Отношение √5 к и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами ЛюкаRichard K. Guy: «The Strong Law of Small Numbers». American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675—712:
Алгебра Кольцо содержит числа вида , где a и b целые числа и — мнимое число. Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.
Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:
Поле — абелево расширение рациональных чисел.
Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:
Тождества Рамануджана Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями at MathWorld.
Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:
Доказательство иррациональности Докажем, что число — иррациональное число. Докажем от противного. Допустим, что число можно представить в виде несократимой дроби , где — целое число, а — натуральное:
делится на , значит, тоже делится на ; следовательно, делится на , а значит, и делится на . То есть, дробь можно сократить, а это противоречит изначальному утверждению. Значит, исходное утверждение было неверным, и — иррациональное число.
См. также Квадратный корень из 2 Квадратный корень из 3
Примечания
Ссылки Proof that square root of 5 is irrational Theodorus' Constant at MathWorld
Категория:Алгебраические числа Категория:Математические константы Категория:Иррациональные числа