Последняя теорема Пуанкаре — утверждение о наличии хотя бы двух неподвижных точек у всякого преобразования плоского кольца, вращающего граничные окружности в противоположных направлениях и при этом сохраняющего площадь. Теорема играет важную роль в теории динамических систем.
Данная теорема была сформулирована Анри ПуанкареPoincare H., «Rend. circ. mat. Palermo», 1912, v. 33, p. 375—407; статью с утверждением он направил в журнал за две недели до смерти. Доказательство дал Джордж БиркгофBirkhoff G., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1913, V. 14, p. 14—22 спустя полгода; его доказательство содержало неточность, которая была исправлена Брауном и НьюманомM. Brown, W. D. Neumann. Proof of the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem. // Michigan Math. J. 24 (1977) 21—31..
Формулировка Пусть — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами и . Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя: , удовлетворяющее следующим условиям: отображение сохраняет площадь и гомотопно тождественному; каждая граничная окружность переходит в себя: , ; точки с передвигаются против часовой стрелки, а точки с — по часовой стрелке. Более точно, функция непрерывна и и при любом .
Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.
Вариации и обобщения Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.
Примечания
Литература
Парс Л. А. Аналитическая динамика, пер. с англ., М.: Наука, 1971. 636 с.
Ссылки Кириллов А. Н. Последняя геометрическая теорема Пуанкаре: история и драма идей (видео) // Семинар по истории математики, Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН, 7 сентября 2017 г.
Категория:Динамические системы Пуанкаре Пуанкаре Категория:Симплектическая топология