У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, называемыми сторонами угла, выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.
Общие сведения
Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области. Каждая из этих областей, объединённая со сторонами угла, называется плоским углом (или просто углом, если это не вызывает разночтений). Один из плоских углов (обычно это меньший из двух) иногда условно называют внутренним, а другой — внешним. Точки плоского угла, не принадлежащие его сторонам, образуют внутреннюю область плоского угла.
В другом, эквивалентном варианте определения плоским углом называется часть плоскости, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую лежащую в этой плоскости линию (которая называется линией, стягивающей данный плоский угол).
Часто для краткости углом называют также угловую меру, то есть число, определяющее величину угла.
Кроме наиболее часто встречающихся плоских углов, в качестве углов могут рассматриваться и более общие объекты — фигуры, образованные пересекающимися дугами, полуплоскостями и другими фигурами как в евклидовой, так и в других типах геометрии в метрических пространствах различной размерности.
Обозначение углов
Для обозначения угла в тексте используется общепринятый символ: предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Символ содержится в Юникоде ().
В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: и др. Как правило, эти обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ , для этой цели не принято использовать.
Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы и .
Также часто угол обозначают тремя обозначениями точек, пригадлежащих лучам, например В такой записи — вершина, а и — точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться. См. вариации и обобщения.
Реже для указания угла используются обозначения лучей, образующих стороны угла. Например, — здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника , , который надо было бы обозначить .
Так, для рисунка справа записи , и означают один и тот же угол.
Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы () и цифры.
На чертежах внутренние части углов отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами дуг в вершине угла. Равенство разных углов может отмечаться одинаковым числом дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке.
Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.
Угловая мера Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго.
Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов.
Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что: равным углам соответствует равная угловая мера; меньшему углу соответствует меньшая угловая мера; у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для угла между параллельными прямыми); каждый ненулевой угол имеет определённую угловую меру, большую нуля; (аддитивность) угловая мера угла равна сумме угловых мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение а для величины меры измерения этого угла — обозначение
Угол измеряют: в градусах, минутах, секундах; в радианах; в оборотах; в градах, минутах, секундах; в часах, минутах и секундах; в тысячных и делениях угломера; в румбах.
Наиболее часто используется градусная мера — градус, минута, секунда, в которой за 1° принимается 1/180 от развёрнутого угла (см. ниже), одна минута , и одна секунда . Градусная мера применяется в элементарной геометрии (измерение углов на чертежах транспортиром), в геодезии по карте и на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор — универсал/теодолит).
Радианная мера угла — отношение длины стягивающей дуги к её радиусу . Радианная мера используется в математическом анализе (например, как числовой аргумент тригонометрических функций и при определении числовых (табличных и графических) значений обратных аркфункций), в планиметрии и механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, — колебаний, волн и так далее).
Углы можно измерять также в оборотах. Один оборот — это полный угол (то есть угол в 360 градусов). Про произвольный угол говорят, что он составляет оборотов, если — отношение длины дуги, стягивающей угол, к длине окружности, содержащей эту дугу.
Градовая мера измерения углов была предложена к применению исторически, в настоящее время почти нигде не используется, поскольку не вытеснила более распространённую шестидесятеричную градусную.
Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону, где использовалась шестидесятеричная система счисления, следы которой сохранились у нас в делении времени и углов. Один градус (1/360 полного угла) делится на 60 угловых минут (или минут дуги), в свою очередь минута делится на 60 угловых секунд (секунд дуги). Меньшие углы измеряются в дольных единицах секунды, образуемыми с помощью приставок СИ (угловая миллисекунда, угловая микросекунда и т.д.).
1 оборот = 2 радианам = 360° = 400 градам.
В системе СИ основной единицей измерения угла является радиан.
В морской терминологии углы измеряются в румбах. 1 румб равен от полной окружности (360 градусов) компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.
В астрономии угол прямого восхождения и часовой угол в экваториальной системе координат измеряются в часах, минутах и секундах (составляющих соответственно , и полной окружности); это связано с угловой скоростью осевого вращения Земли, составляющей приблизительно 1 оборот за 24 часаВ действительности истинный период обращения Земли относительно неподвижных звёзд примерно на 4 минуты короче, чем 24 часа, см. звёздное время.. Таким образом, за один час (минуту, секунду) времени небесная сфера «поворачивается» примерно на 1 час (минуту, секунду) в угловой мере. Остальные угловые величины в астрономии выражаются обычно в градусах, минутах и секундах дуги. Одна секунда (минута) прямого восхождения равна 15 секундам (минутам) дуги.
В артиллерии и оружейном деле используются также тысячные и деления угломера.
В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° . В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.
Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и тому подобное), к ним относятся:
квадрант (прямой угол, окружности); секстант ( окружности); октант ( окружности; кроме того, в стереометрии октантом называется трёхгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными плоскостями),
Иногда углы (например, угол уклона поверхности) измеряют не собственно угловой мерой, а её тангенсом (или синусом), то есть отношением подъёма по наклонной плоскости к проекции на горизонталь пройденного по ней пути (или к самому этому пути). Для обычного случая малых углов уклона это отношение примерно равно углу, выраженному в радианах (, при разница между этими величинами менее 1 %). При этом отношение выражается обычно в процентах или промилле. Например, уклон дороги в 10 % означает, что на каждые 100 метров пути (в проекции на горизонталь) дорога поднимается на 10 м; угол к горизонту равен arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радиана. Такой способ измерения углов не является, строго говоря, угловой мерой, так как не обладает свойством аддитивности (см. выше). См. также .
Направление отсчёта углов
Угол называется ориентированным, если указан порядок следования его сторон, то есть известно, какой луч принят за начало отчёта, а какой — концом отсчёта. В этом смысле угол можно кинематически определить как меру вращения одного луча (движущегося, активного) относительно второго (неподвижного, зафиксированного) вокруг их общей вершины. В результате остановки активного луча в конкретный момент образуется угол, т. е. геометрическая фигура. От положения неподвижного луча берётся отсчёт. Если активный луч в какой-то момент совпал с начальным своим состоянием (фиксированным), то говорят, что он прошёл полный оборот (относительно своего первоначального положения), а сам угол называется полным.
В математике и физике, обычно, положительным направлением отсчёта углов считается направление против часовой стрелки. Обычно, угол начинают измерять от луча, начало которого совпадает с центром системы координат (СК), а направление совпадает с положительным направлением оси абсцисс (в полярной СК, цилиндрической СК, сферической СК, СК на тригонометрической окружности и других).
В географии и геодезии за начало отсчёта углов по азимуту принято направление «на север»; угол отсчитывается по часовой стрелке. Таким образом, направлению «на восток» соответствует азимутальный угол 90°, «на юг» — 180°, «на запад» — 270°. В артиллерии предпочитают направление полярной оси «на юг» и соответствующий полярный угол называют также азимутом (направление «на запад» соответствует азимутальному углу 90°).
Типы углов
В зависимости от величины углы называются следующим образом. Нулевой угол (0°); стороны нулевого угла совпадают, множество точек его внутренней области — пустое множество. Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения). Прямой угол (90°); половина развёрнутого угла. Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения). Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°). Развёрнутый угол (180°); сторонами развёрнутого угла являются две полупрямые одной прямой, то есть два луча, направленных в противоположные стороны. Невыпуклый угол (от 0° до 180° включительно). Выпуклый угол (от 180° до 360°, не включая граничные значения). Полный угол (360°) — см. оборот (единица измерения).
Биссектриса