Ядром Джексона в теории приближений называется -периодическая функция, задающаяся формулой:
Названо именем учёного, занимавшегося теорией приближений и тригонометрических полиномов — .
Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму ряда Фурье.
Константа ядра Джексона Константа определяется из соотношения и равна
Доказательство Используем равенство Парсеваля для случая пространства L2:
Если , то верно следующее тождество:
Необходимо подставить в это равенство
Предварительно необходимо написать выражение для , используя ядро Фейера и ядро Дирихле:
Из этого следует, что
Поменяв местами две суммы и применив соответствующее преобразование для индексов, получим:
Далее, очевидно, что коэффициенты полученного тригонометрического полинома будут коэффициентами Фурье его суммы, то есть
Остаётся лишь подставить эти коэффициенты в соответствующее выражение для интеграла:
А значит, подставив в основное тождество для ядра Джексона, можно получить выражение для константы:
Таким образом, утверждение о константе доказано.
См. также Тригонометрический ряд Фурье Неравенство Джексона — Стечкина Ядро Дирихле Ядро Фейера
Литература
Категория:Математический анализ Категория:Теория приближений