Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокубЕ. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 44. (), ортоплекс, кросс-политоп.
Символ Шлефли n-мерного гипероктаэдра — {3;3;...;3;4}, где всего в скобках (n-1) число.
Гипероктаэдр можно понимать как шар в метрике городских кварталов.
Частные случаи
Число измерений nНазвание фигурыСимвол ШлефлиИзображение1отрезок{}2квадрат{4}3октаэдр{3;4}4 шестнадцатиячейник{3;3;4}55-ортоплекс{3;3;3;4}
Описание
-мерный гипероктаэдр имеет вершин; любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме (при вершины, симметричной ей относительно центра политопа.
Все его -мерные гиперграни — одинаковые правильные симплексы; их число равно
Угол между двумя смежными -мерными гипергранями (при равен .
-мерный гипероктаэдр можно представить как две одинаковых правильных -мерных пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями в форме -мерного гипероктаэдра.
В координатах
-мерный гипероктаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты При этом каждая из его -мерных гиперграней будет располагаться в одном из ортантов -мерного пространства.
Начало координат будет центром симметрии политопа, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер.
Поверхность гипероктаэдра будет геометрическим местом точек чьи координаты удовлетворяют уравнению
а внутренность — геометрическим место точек, для которых
Метрические характеристики
Если -мерный гипероктаэдр имеет ребро длины то его -мерный гиперобъём и -мерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
Радиус описанной -мерной гиперсферы (проходящей через все вершины) при этом будет равен
радиус -й полувписанной гиперсферы (касающейся всех -мерных гиперграней в их центрах; ) —
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех -мерных гиперграней в их центрах) —
Примечания
Ссылки
Категория:Многомерная евклидова геометрия Категория:Многогранники