Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен . В математике и физике мнимая единица обозначается латинской буквой , в электротехнике — буквой .
Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.
Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.
Вплоть до конца XIX века наряду с символом использовалось обозначение однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен — число в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:
числа i и −i являются одновременно противоположными и обратными: последнее верно потому, что произведение этих чисел равно ; i и −i комплексно сопряжены, так что их сумма (ноль) и произведение (единица) вещественны одновременно (свойства сопряжённых чисел).
Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений.
Степени мнимой единицы Степени повторяются в цикле:
что может быть записано для любой степени в виде:
где n — любое целое число.
Отсюда: , где mod 4 — это остаток от деления на 4.
Возведение в комплексную степень является многозначной функцией. Например, таковой является величина , которая представляет бесконечное множество вещественных чисел (): где
При получаем число соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.
Также верно, что .
Факториал Факториал мнимой единицы можно определить как значение гамма-функции от аргумента :
Также "abs(i!) ", WolframAlpha. потому что , что по рекуррентному соотношению гамма-функции можно переписать как , а затем по формуле дополнения Эйлера — как .
Корни из мнимой единицы
В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.
В частности, и
Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:
Иные мнимые единицы В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения .
К вопросу об интерпретации и названии
Обозначения Обычное обозначение — , но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать , чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: .
В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.
В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как 𝕚.
См.также Дуальные числа и двойные числа Комплексный анализ Кватернион Гиперкомплексное число
Примечания
Ссылки
Категория:Числа с собственными именами Категория:Комплексные числа