Категория модулей ― категория, объекты которой ― левые (правые или двусторонние — по предварительной договорённости) унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом с единицей, а морфизмы ― гомоморфизмы -модулей. Обозначения — , , для категории левых унитарных модулей и, соответственно, , , . Категория бимодулей содержит в качестве объектов унитарные -бимодули над кольцами с единицей и , и их гомоморфизмы в качестве морфизмов.
Является важнейшим примером абелевой категории. Более того, для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в некоторую категорию модулей (теорема Фрейда — Митчелла о вложении). Свойства категории модулей отражают ряд важных свойств кольца , храня в себе много информации о его внутренней структуре, например, о его , факторе по радикалу Джекобсона и даже о его центре (в частности, для коммутативных колец это означает, что всякое из них с точностью до изоморфизма восстанавливается по категории модулей над ним). Категория модулей над коммутативным конечнопорождённым кольцом содержит всю алгебро-геометрическую характеристику аффинной схемы спектра кольца (одна из теорем Серра). Категории модулей также имеют достаточно много инъективных и проективных объектов (то есть у всякого объекта нашей категории есть мономорфизм в инъективный объект и эпиморфизм из проективного объекта), содержат , а также все пределы и копределы, то есть являются биполными. в категории модулей есть в точности конечно представленные модули.
Категории модулей над разными кольцами могут быть эквивалентны (морита-эквивалентность), например, эквивалентны между собой категории модулей над алгебрами матриц разного порядка, но с общим полем — все они эквивалентны категории пространств над тем же полем. Морита-эквивалентные коммутативные кольца изоморфны.
Категория унитарных модулей над кольцом целых чисел есть категория абелевых групп . Категория унитарных модулей над полем — это категория векторных пространств над , то есть .
Обобщение — категория модулей над категорией , определяемая как категория аддитивных функторов из произвольной категории в категорию абелевых групп, и совпадающая с при рассмотрении в качестве категории категории из одного объекта — кольца .
Литература
Категория:Модули над кольцами Категория:Теория категорий