Автокорреляционная функция (АКФ) — зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и её сдвинутой по аргументу функции копией от величины сдвига.

Для детерминированных сигналов автокорреляционная функция (АКФ) сигнала определяется интегралом:

и показывает связь сигнала (функции ) с копией самого себя, смещённого на величину . Звёздочка означает комплексное сопряжение.

Для случайных процессов АКФ случайного процесса имеет видAnthony D. Whalen. 1971. — P. 32.:

,

где  — математическое ожидание, , — значения случайных величин и в моменты времени и , — двумерная плотность вероятности случайных величин и .

Также в литературе АКФ случайного процесса определяют по формуле:

В некоторых источниках эту функцию называют автоковариационной функцийБерикашвили В. Ш., Оськин С. П. Статистическая обработка данных, планирование эксперимента и случайные процессы, 2019. — С. 149..

Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности исходной функции, а, следовательно, и о её частотных характеристиках. Автокорреляционная функция применяется для анализа сложных колебаний, например, электроэнцефалограммы человека.

Применение в технике Корреляционные свойства кодовых последовательностей, используемых в широкополосных системах, зависят от типа кодовой последовательности, её длины, частоты следования её символов и от её посимвольной структуры.

Изучение автокорреляционной функции играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации.

Другие применения Автокорреляционная функция играет важную роль в математическом моделировании и анализе временных рядов, показывая характерные времена для исследуемых процессовТурчин П. В. Историческая динамика. М.: УРСС, 2007. ISBN 978-5-382-00104-3.. В частности, циклам в поведении динамических систем соответствуют максимумы автокорреляционной функции некоторого характерного параметра.

См. также Теорема Хинчина — Колмогорова Корреляционная функция Взаимнокорреляционная функция Периодическая функция Корреляция Критерий Дарбина — Уотсона Дисперсия случайной величины Свёртка (математический анализ)

Примечания

Ссылки функция xcorr в MATLAB

Категория:Случайные процессы Категория:Обработка сигналов Категория:Функции Категория:Регрессионный анализ Категория:Ковариация и корреляция