Алгори́тм Де́йкстры () — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским учёным Эдсгером Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшие пути от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса. Алгоритм широко применяется в программировании, например, его используют протоколы маршрутизации OSPF и IS-IS.
Формулировка задачи
Примеры Вариант 1. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих города Московской области. Некоторые дороги односторонние. Найти кратчайшие пути от города А до каждого города области (если двигаться можно только по дорогам).
Вариант 2. Имеется некоторое количество авиарейсов между городами мира, для каждого известна стоимость. Стоимость перелёта из A в B может быть не равна стоимости перелёта из B в A. Найти маршрут минимальной стоимости (возможно, с пересадками) от Копенгагена до Барнаула.
Формальное определение Дан взвешенный ориентированныйЧастными случаями ориентированного графа являются неориентированный и смешанный («частично ориентированный») графы. граф без дуг отрицательного весаДля графа с отрицательными весами применяется более общий алгоритм — Алгоритм Дейкстры с потенциалами. Найти кратчайшие пути от некоторой вершины графа до всех остальных вершин этого графа.
Неформальное объяснение
Каждой вершине из множества вершин V сопоставим метку — минимальное известное расстояние от этой вершины до стартовой вершины a.
Алгоритм работает пошагово — на каждом шаге он «посещает» одну вершину и пытается уменьшать метки.
Работа алгоритма завершается, когда все вершины посещены.
Инициализация.
Метка самой вершины a полагается равной 0, метки остальных вершин — бесконечности.
Это отражает то, что расстояния от a до других вершин пока неизвестны.
Все вершины графа помечаются как непосещённые.
Шаг алгоритма.
Если все вершины посещены, алгоритм завершается.
В противном случае, из ещё не посещённых вершин выбирается вершина u, имеющая минимальную метку.
Мы рассматриваем все возможные маршруты, в которых u является предпоследним пунктом. Вершины, в которые ведут рёбра из u, назовём соседями этой вершины. Для каждого соседа вершины u, кроме отмеченных как посещённые, рассмотрим новую длину пути, равную сумме значений текущей метки u и длины ребра, соединяющего u с этим соседом.
Если полученное значение длины меньше значения метки соседа, заменим значение метки полученным значением длины. Рассмотрев всех соседей, пометим вершину u как посещённую и повторим шаг алгоритма.
Пример Рассмотрим выполнение алгоритма на примере графа, показанного на рисунке.
Пусть требуется найти кратчайшие расстояния от 1-й вершины до всех остальных.
Кружками обозначены вершины, линиями — пути между ними (рёбра графа).
В кружках обозначены номера вершин, над рёбрами обозначен их вес — длина пути.
Рядом с каждой вершиной красным обозначена метка — длина кратчайшего пути в эту вершину из вершины 1.
Первый шаг.
Минимальную метку имеет вершина 1. Её соседями являются вершины 2, 3 и 6.
Первый по очереди сосед вершины 1 — вершина 2, потому что длина пути до неё минимальна.
Длина пути в неё через вершину 1 равна сумме значения метки вершины 1 и длины ребра, идущего из 1-й в 2-ю, то есть 0 + 7 = 7.
Это меньше текущей метки вершины 2, бесконечности, поэтому новая метка 2-й вершины равна 7.
Аналогичную операцию проделываем с двумя другими соседями 1-й вершины — 3-й и 6-й.
Все соседи вершины 1 проверены.
Текущее минимальное расстояние до вершины 1 считается окончательным и пересмотру не подлежит.
Вычеркнем её из графа, чтобы отметить, что эта вершина посещена.
Второй шаг.
Снова находим «ближайшую» из непосещённых вершин. Это вершина 2 с меткой 7.
Снова пытаемся уменьшить метки соседей выбранной вершины, пытаясь пройти в них через 2-ю вершину. Соседями вершины 2 являются вершины 1, 3 и 4.
Первый (по порядку) сосед вершины 2 — вершина 1. Но она уже посещена, поэтому с 1-й вершиной ничего не делаем.
Следующий сосед — вершина 3, так как имеет минимальную метку.
Если идти в неё через 2, то длина такого пути будет равна 17 (7 + 10 = 17). Но текущая метка третьей вершины равна 9, а это меньше 17, поэтому метка не меняется.
Ещё один сосед вершины 2 — вершина 4.
Если идти в неё через 2-ю, то длина такого пути будет равна сумме кратчайшего расстояния до 2-й вершины и расстояния между вершинами 2 и 4, то есть 22 (7 + 15 = 22).
Поскольку 22<, устанавливаем метку вершины 4 равной 22.
Все соседи вершины 2 просмотрены, замораживаем расстояние до неё и помечаем её как посещённую.
Третий шаг.
Повторяем шаг алгоритма, выбрав вершину 3. После её «обработки» получим такие результаты:
Дальнейшие шаги.
Повторяем шаг алгоритма для оставшихся вершин. Это будут вершины 6, 4 и 5, соответственно порядку.
Завершение выполнения алгоритма.
Алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены.
Результат работы алгоритма виден на последнем рисунке: кратчайший путь от вершины 1 до 2-й составляет 7, до 3-й — 9, до 4-й — 20, до 5-й — 20, до 6-й — 11.
Если в какой-то момент все непосещённые вершины помечены бесконечностью, то это значит, что до этих вершин нельзя добраться (то есть граф несвязный). Тогда алгоритм может быть завершён досрочно.
Алгоритм
Обозначения — множество вершин графа — множество рёбер графа — вес (длина) ребра — вершина, расстояния от которой ищутся — множество посещённых вершин — по окончании работы алгоритма равно длине кратчайшего пути из до вершины — по окончании работы алгоритма содержит кратчайший путь из в — текущая вершина, рассматриваемая алгоритмом
Код реализации алгоритма Ниже приведён код реализации алгоритма на языке программирования Java: class Dijkstra { double[] dist = new double[GV()]; Edge[] pred = new Edge[GV()]; public Dijkstra(WeightedDigraph G, int s) { boolean[] marked = new boolean[GV()]; for (int v = 0; v <GV(); v++) dist[v] = Double.POSITIVE_INFINITY; MinPQplus<Double, Integer> pq; pq = new MinPQplus<Double, Integer>(); \\Priority Queue dist[s] = 0.0; pq.put(dist[s], s); while (!pq.isEmpty()) { int v = pq.delMin(); if (marked[v]) continue; marked(v) = true; for (Edge e (v)) { int w = e.to(); if (dist[w]> dist[v] + e.weight()) { dist[w] = dist[v] + e.weight(); pred[w] = e; pq.insert(dist[w], w);
}Ниже приведён пример реализации на языке C++ при помощи Приоритетной очереди (priority_queue) с кратким объяснением. Сложность алгоритма :#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
int main() { ll inf = 1000000000000000; int n, m, a, b; ll c; cin >> n >> m; // n - кол-во вершин; m - кол-во рёбер vector<vector<pair<int, ll>>> country(n); // в country[v] хранится пара (u, c), это означает, что из v есть ребро в u веса c while (m--) { cin >> a >> b >> c; // из вершины a идёт ребро в вершину b веса c a--; b--; country[a].push_back(make_pair(b, c));
vector<ll> dist(n, inf); dist = 0; priority_queue<pair<ll, int>> q; q.push(make_pair(0, 0)); while (!q.empty()) { ll len = -q.top().first; // берёт максимальный элемент очереди. Так как нам нужно минимальное расстояние, храним расстояния умноженные на (-1) int i = q.top().second; q.pop(); if (len > dist[i]) continue; for (auto X : country[i]) { if (dist[X.first] > dist[i] + X.second) { dist[X.first] = dist[i] + X.second; q.push(make_pair(-dist[X.first], X.first));
for (int i = 0; i < n; ++i) { cout << dist[i] << " ";
Псевдокод Присвоим
Для всех отличных от присвоим .
Пока . Пусть — вершина с минимальным занесём в
Для всех таких, что
Если то
Изменим
Изменим
Описание В простейшей реализации для хранения чисел d[i] можно использовать массив чисел, а для хранения принадлежности элемента множеству U — массив булевых переменных.
В начале алгоритма расстояние для начальной вершины полагается равным нулю, а все остальные расстояния заполняются большим положительным числом (бо́льшим максимального возможного пути в графе). Массив флагов заполняется нулями. Затем запускается основной цикл.
На каждом шаге цикла мы ищем вершину с минимальным расстоянием и флагом равным нулю. Затем мы устанавливаем в ней флаг в 1 и проверяем все соседние с ней вершины . Если в них (в ) расстояние больше, чем сумма расстояния до текущей вершины и длины ребра, то уменьшаем его. Цикл завершается, когда флаги всех вершин становятся равны 1, либо когда у всех вершин c флагом 0 . Последний случай возможен тогда и только тогда, когда граф G несвязный.
Доказательство корректности Пусть — длина кратчайшего пути из вершины в вершину . Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины выполняется равенство .
База. Первой посещается вершина . В этот момент .
Шаг. Пусть мы выбрали для посещения вершину . Докажем, что в этот момент . Для начала отметим, что для любой вершины всегда выполняется (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть — кратчайший путь из в . Вершина находится на и не посещена. Поэтому множество непосещённых вершин на непусто. Пусть — первая непосещённая вершина на , — предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь кратчайший, его часть, ведущая из через в , тоже кратчайшая, следовательно .
По предположению индукции, в момент посещения вершины выполнялось , следовательно, вершина тогда получила метку не больше чем . Следовательно, . Если , то индукционный переход доказан. Иначе, поскольку сейчас выбрана вершина , а не , метка минимальна среди непосещённых, то есть . Комбинируя это с , имеем , что и требовалось доказать.
Поскольку алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены, в этот момент для всех вершин.
Сложность алгоритма Сложность алгоритма Дейкстры зависит от способа нахождения вершины v, а также способа хранения множества непосещённых вершин и способа обновления меток. Обозначим через n количество вершин, а через m — количество рёбер в графе G.
В простейшем случае, когда для поиска вершины с минимальным d[v] просматривается всё множество вершин, а для хранения величин d используется массив, время работы алгоритма есть . Основной цикл выполняется порядка n раз, в каждом из них на нахождение минимума тратится порядка n операций. На циклы по соседям каждой посещаемой вершины тратится количество операций, пропорциональное количеству рёбер m (поскольку каждое ребро встречается в этих циклах ровно дважды и требует константное число операций). Таким образом, общее время работы алгоритма , но, так как , оно составляет .
Для разреженных графов (то есть таких, для которых m много меньше n²) непосещённые вершины можно хранить в двоичной куче, а в качестве ключа использовать значения d[i], тогда время удаления вершины из станет при том, что время модификации возрастёт до . Так как цикл выполняется порядка n раз, а количество смен меток не больше m, время работы такой реализации — .
Если для хранения непосещённых вершин использовать фибоначчиеву кучу, для которой удаление происходит в среднем за , а уменьшение значения в среднем за , то время работы алгоритма составит . Однако согласно лекциям Алексеева и ТалановаВладимир Алексеев, Владимир Таланов, Курс «Структуры данных и модели вычислений», Лекция № 7: Биномиальные и фибоначчиевы кучи // 26.09.2006, Интуит.ру:
скрытые константы в асимптотических оценках трудоёмкости велики и использование фибоначчиевых куч редко оказывается целесообразным: обычные двоичные () кучи на практике эффективнее.
Альтернативами им служат толстые кучи, тонкие кучи и , обладающие теми же асимптотическими оценками, но меньшими константамиВладимир Алексеев, Владимир Таланов, Курс «Структуры данных и модели вычислений», Лекция № 8: Тонкие кучи // 26.09.2006, Интуит.ру.
См. также Очередь с приоритетом (программирование) Минимальное остовное дерево Остовное дерево Задача о кратчайшем пути Алгоритм Борувки Алгоритм Краскала Алгоритм обратного удаления Алгоритм Прима
Примечания
Литература
Ссылки
C. Анисимов. Как построить кратчайший маршрут между двумя точками.