Уравне́ние Кортеве́га — деФри́за (уравнение КдФ; также встречается написание деВриза, деВриса, деФриса, ДеФриса; ) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году, но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом деВрисом в 1895 году.
Уравнение Кортевега — де Фриза имеет вид
или
в разных источниках можно встретить знак плюс или минус. Эти уравнения эквивалентны: сделав в (1) замену и затем умножая обе части на , получаем уравнение (2).
Решения Для уравнения Кортевега — деФриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида: , где — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость; — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси . Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.
Периодические решения уравнения Кортевега — деФриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:
где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.
Также уравнение Кортевега — деФриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.
Интегралы движения и представление Лакса Уравнение Кортевега — деФриза имеет важное значение для теории интегрируемых систем как один из простейших примеров точно решаемого нелинейного дифференциального уравнения. Интегрируемость обеспечивается наличием у уравнения бесконечного количества интегралов движения, имеющих вид
где — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, заданные рекурсивно следующим образом:
Их можно получить, воспользовавшись представлением Лакса
посредством пары операторов
Более того, можно показать, что уравнение Кортевега — деФриза имеет бигамильтонову структуру.
Несколько первых интегралов движения: масса импульс энергия
Обобщения При наличии диссипации уравнение Кортевега — деФриза переходит в , имеющее вид
где параметр характеризует величину диссипации.
В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — деФриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:
Примечания
Литература Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — : ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
А. М. Камчатнов. Задача Гуревича–Питаевского и её развитие. УФН, 191:1 (2021), 52–87
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных Категория:Теория волн Категория:Нелинейные уравнения