Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
где — искомая функция, — её -я производная, — фиксированные числа, — заданная функция (когда , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).
Однородное уравнение
Определение Корень кратности многочлена это число , такое что этот многочлен делится без остатка на , но не на .
Уравнение порядка n Однородное уравнение:
интегрируется следующим образом:
Пусть — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения
кратностей , соответственно, .
Тогда функции
являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.
Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.
Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида
и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.
Уравнение второго порядка Однородное уравнение второго порядка:
интегрируется следующим образом:
Пусть — корни характеристического уравнения , являющегося квадратным уравнением.
Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта : при уравнение имеет два различных вещественных корня
Общее решение имеет вид:
при — два совпадающих вещественных корня
Общее решение имеет вид:
при существуют два комплексно сопряженных корня
Общее решение имеет вид:
Неоднородное уравнение Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).
Вид общего решения неоднородного уравнения Если дано частное решение неоднородного уравнения , и — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой
где — произвольные постоянные.
Принцип суперпозиции Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.
В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций , частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций , где являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями , соответственно.
Частный случай: квазимногочлен В случае, когда — квазимногочлен, то есть
где — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде
где многочлены, , коэффициенты которых находятся подстановкой в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов. является кратностью комплексного числа , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
В частности, когда
где — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде
Здесь — многочлен, , с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой в уравнение. является кратностью , как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Когда же
где — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде
Здесь — многочлен, , а является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Уравнение Коши — Эйлера Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида: , приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида .
Применение Дифференциальные уравнения являются наиболее часто используемой и классической формой математического описания процессов. Разные формы математических описаний являются инструментальным средством аналитического анализа и синтеза динамических систем и систем автоматического управления. Дифференциальные уравнения, параметры которых зависят от переменных, называются нелинейными и не имеют общих решений. В настоящее время в теории автоматического управления широко используется математический аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Из математики известно, что в частотную область компактно преобразуется д.у. с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях. И в теории управления такое уравнение является линейным.А. В. Андрюшин, В. Р. Сабанин, Н. И. Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 41. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.
Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.
См. также Линейная рекуррентная последовательность — дискретный аналог линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения