Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.
Для квадратной матрицы с элементами из некоторого поля невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:
обратима, то есть существует обратная матрица; строки (столбцы) матрицы линейно независимы; ранг матрицы равен её размерности.
Совокупность всех невырожденных матриц порядка образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Полная линейная группа обычно обозначается как . Если требуется явно указать, какому полю должны принадлежать элементы матрицы, то пишут . Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка обозначается , а если комплексные числа, то .
Матрица порядка заведомо невырождена, если это: диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу ); верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу ); нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами; унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу ). матрица является результатом взятия матричной экспоненты от матрицы , то есть
Примечания
Литература
Категория:Типы матриц