Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.
Кольцо, поле, алгебра, оснащённые дифференцированием, называются дифференциальным кольцом, дифференциальным полем, дифференциальной алгеброй соответственно.
Определение Пусть — алгебра над кольцом . Дифференцирование алгебры — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница:
В более общем случае дифференцирование коммутативной -алгебры со значениями в -модуле — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае называют дифференциальным модулем над . Множество всех дифференцирований со значениями в обозначается (, ) и является -модулем. Функтор является представимым, его представляющий объект обозначается или и называется модулем кэлеровых дифференциалов. является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над , то есть существует такое дифференцирование , что любое дифференцирование пропускается через :
Свойства имеет естественную структуру алгебры Ли: .
Любое дифференцирование является дифференциальным оператором первого порядка (в смысле коммутативной алгебры). Более того, если — алгебра с единицей, то для любого -модуля выполнено: , где — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из в .
является функтором из в .
Градуированное дифференцирование Для -градуированной алгебры с градуировкой элемента , обозначаемой , аналогом дифференцирования являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями степени , удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Лейбница ():
Если , то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если , то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора: .
Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.
Литература . .
Категория:Дифференциальная алгебра