Множество всех подмножеств (показательное множество, булеан множества — по имени Джорджа Буля (1815 - 1864), англ. математика и логика) — множество, состоящее из всех подмножеств данного множества (включая пустое множество и само множество ); обозначается как , или , или (так как оно соответствует множеству отображений из в ).
Если два множества равномощны, то равномощны и соответствующие множества всех подмножеств. Обратное утверждение (то есть инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC.
В категории множеств можно снабдить функцию структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом: ковариантный функтор отображает функцию в функцию такую, что она отображает в образ относительно ; контравариантный функтор отображает функцию в такую, что она отображает в полный прообраз относительно .
Мощность конечного множества подмножеств Справедливо следующее утверждение: число подмножеств конечного множества, состоящего из элементов, равно . Результат доказывается методом математической индукции. База индукции: у пустого множества () только одно подмножество — оно само, и . Шаг индукции: пусть утверждение установлено для множеств мощности . Рассмотрим произвольное множество с кардинальным числом . Если зафиксировать некоторый элемент , подмножества множества разделяются на два семейства: , элементы которого содержат , , элементы которого не содержат , то есть являются подмножествами множества .
Подмножеств второго типа по предположению индукции , однако подмножеств первого типа ровно столько же. С одной стороны, из каждого подмножества второго типа можно получить подмножество первого типа добавлением элемента . С другой стороны, из каждого подмножества первого типа можно получить подмножество второго типа удалением элемента . Следовательно, и . По индукционному предположению и , то есть: .
См. также Аксиома множества подмножеств Теорема Кантора Континуум-гипотеза
Литература
Категория:Операции над множествами Категория:Кардинальные операции (теория множеств)