Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).
Бета-функция Дирихле определяется как
или, эквивалентным образом, через интегральное представление
где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.
Связь с другими функциями
Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:
Бета-функция Дирихле также связана с трансцендентной функцией Лерха (),
Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s.
Функциональное соотношение
Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),
где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.
Частные значения
Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя
где G — постоянная Каталана, а — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).
В общем случае для любого положительного целого k
где — полигамма-функция порядка (2k-1), а E2k — числа Эйлера.
Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем
то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции).
Приблизительные значения
s приблизительное значение β(s)OEIS 10.7853981633974483096156608 20.915965594177219015054603530.968946146259369380483634840.988944551741105336108422650.996157828077088064006319460.998685222218438135441600870.999554507890539909496346580.999849990246829656338067190.9999496841872200898213589100.9999831640261968774055407
Производная бета-функции Дирихле
Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически,
(см. также OEIS и ).
Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы
См. также Дзета-функция Римана Постоянная Каталана Дзета-функция Гурвица
Примечания
Литература J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
Категория:Дзета- и L-функции