Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.
Определение Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :
При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы: , где . Матрица называется матрицей главных коэффициентов. Если все собственные значения матрицы имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу. Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде: , где — эллиптический оператор.
Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.
Решение эллиптических уравнений
Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условиях применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.
Примеры эллиптических уравнений В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается. Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона описывают различные стационарные физические поля. Стационарный аналог уравнения Шрёдингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени. Уравнения, получаемые из уравнений Максвелла. В этом случае эллиптические уравнения получаются из предположения, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях, является уравнение Гельмгольца. Уравнение Стокса — стационарный аналог системы уравнений Навье-Стокса для устоявшегося течения, а также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.
См. также Задача Дирихле Условия Коши — Римана Параболическое уравнение Гиперболическое уравнение
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных