Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Определение Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Изначально такое свойство называлось бикомпактностью (этот термин был введён П. С. Александровым и П. С. Урысоном), а в определении компактности использовались счётные открытые покрытия. Впоследствии более общее свойство бикомпактности оказалось более популярным и постепенно стало называться просто компактностью. Сейчас термин «бикомпактность» употребляется в основном лишь топологами школы П. С. Александрова. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности, первоначальное определение компактности равносильно современному.

Бурбаки и его последователи включают в определение компактности свойство хаусдорфовости пространства.

Примеры компактных множеств Замкнутые ограниченные множества в . Конечные подмножества топологических пространств. Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств в пространстве вещественных функций на метрическом компактном пространстве с нормой : замыкание множества функций в компактно тогда и только тогда, когда равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Пространство Стоуна булевых алгебр. Компактификация топологического пространства.

Связанные определения Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством. Множество A называется предкомпактным (или компактным относительно T, или строго содержится в T), если его замыкание в T компактно. Обозначение: A  T. Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно. Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны. Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена. Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие. Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку. H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его хаусдорфовом пространстве.

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства Свойства, равносильные компактности: Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечениеСм. также Лемма о вложенных отрезках. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в . Другие общие свойства: Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт. Теорема Вейерштрасса. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений. Замкнутое подмножество компакта компактно. Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто. Компактное хаусдорфово пространство нормально. Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто. Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто. Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно. Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом. Компактные множества «ведут себя как точки». Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы. Каждое конечное топологическое пространство компактно. Свойства компактных метрических пространств: Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность. Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве. Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — БореляСм. также Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности. Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия существует положительное число такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше , содержится в одном из множеств . Такое число называется числом Лебега.

См. также

Компактификация

Примечания

Литература

Категория:Общая топология Категория:Топология